Theorem ssrmof 3165

Description: "At most one" existential quantification restricted to a subclass. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssrexf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
ssrexf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
ssrmof	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Proof of Theorem ssrmof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrexf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		ssrexf.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	dfss2f 3093	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
4	3	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
5		pm3.45 587	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	5	alimi 1432	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7		moim 2064	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
8	4, 6, 7	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
9		df-rmo 2425	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
10		df-rmo 2425	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
11	8, 9, 10	3imtr4g 204	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1330   ∈ wcel 1481  ∃*wmo 2001  Ⅎwnfc 2269  ∃*wrmo 2420   ⊆ wss 3076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rmo 2425  df-in 3082  df-ss 3089

This theorem is referenced by: (None)