Theorem ssralv 3291

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3221	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	imim1d 75	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
3	2	ralimdv2 2602	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-ral 2515  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  iinss1  3982  poss  4395  sess2  4435  trssord  4477  funco  5366  funimaexglem  5413  isores3  5956  isoini2  5960  smores  6458  smores2  6460  tfrlem5  6480  resixp  6902  ac6sfi  7087  difinfinf  7300  peano5nnnn  8112  peano5nni  9146  caucvgre  11546  rexanuz  11553  cau3lem  11679  isumclim3  11989  fsumiun  12043  pcfac  12928  ctinf  13056  strsetsid  13120  imasaddfnlemg  13402  tgcn  14938  tgcnp  14939  cnss2  14957  cncnp  14960  sslm  14977  metrest  15236  rescncf  15311  suplociccex  15355  limcresi  15396  uspgr2wlkeq  16222  nninfsellemeq  16642