Theorem ssralv 3312

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3242	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	imim1d 75	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
3	2	ralimdv2 2620	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-ral 2533  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is referenced by:  iinss1  4019  poss  4438  sess2  4478  trssord  4520  funco  5412  funimaexglem  5459  isores3  6011  isoini2  6015  smores  6553  smores2  6555  tfrlem5  6575  resixp  7005  ac6sfi  7192  difinfinf  7431  peano5nnnn  8249  peano5nni  9286  caucvgre  11725  rexanuz  11732  cau3lem  11858  isumclim3  12168  fsumiun  12222  pcfac  13107  ctinf  13299  strsetsid  13363  imasaddfnlemg  13612  tgcn  15232  tgcnp  15233  cnss2  15251  cncnp  15254  sslm  15271  metrest  15530  rescncf  15605  suplociccex  15649  limcresi  15690  uspgr2wlkeq  16520  nninfsellemeq  16962