Theorem ssralv 3312

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3242	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	imim1d 75	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
3	2	ralimdv2 2620	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-ral 2533  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  iinss1  4024  poss  4445  sess2  4485  trssord  4527  funco  5420  funimaexglem  5467  isores3  6024  isoini2  6028  smores  6568  smores2  6570  tfrlem5  6590  resixp  7021  ac6sfi  7208  difinfinf  7447  peano5nnnn  8265  peano5nni  9316  flapcl  10727  flaplelt  10729  caucvgre  11768  rexanuz  11775  cau3lem  11902  isumclim3  12214  fsumiun  12268  pcfac  13157  ctinf  13378  strsetsid  13442  imasaddfnlemg  13693  cntz2ss  14167  cntzmhm2  14173  gsumresfi  14262  tgcn  15451  tgcnp  15452  cnss2  15470  cncnp  15473  sslm  15490  metrest  15749  rescncf  15824  suplociccex  15868  limcresi  15909  uspgr2wlkeq  16828  nninfsellemeq  17280