Theorem ssralv 3291

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3221	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	imim1d 75	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
3	2	ralimdv2 2602	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-ral 2515  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  iinss1  3982  poss  4395  sess2  4435  trssord  4477  funco  5366  funimaexglem  5413  isores3  5955  isoini2  5959  smores  6457  smores2  6459  tfrlem5  6479  resixp  6901  ac6sfi  7086  difinfinf  7299  peano5nnnn  8111  peano5nni  9145  caucvgre  11541  rexanuz  11548  cau3lem  11674  isumclim3  11983  fsumiun  12037  pcfac  12922  ctinf  13050  strsetsid  13114  imasaddfnlemg  13396  tgcn  14931  tgcnp  14932  cnss2  14950  cncnp  14953  sslm  14970  metrest  15229  rescncf  15304  suplociccex  15348  limcresi  15389  uspgr2wlkeq  16215  nninfsellemeq  16616