Theorem ssralv 3292

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3222	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	imim1d 75	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
3	2	ralimdv2 2603	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511   ⊆ wss 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-ral 2516  df-in 3207  df-ss 3214

This theorem is referenced by:  iinss1  3987  poss  4401  sess2  4441  trssord  4483  funco  5373  funimaexglem  5420  isores3  5966  isoini2  5970  smores  6501  smores2  6503  tfrlem5  6523  resixp  6945  ac6sfi  7130  difinfinf  7343  peano5nnnn  8155  peano5nni  9188  caucvgre  11604  rexanuz  11611  cau3lem  11737  isumclim3  12047  fsumiun  12101  pcfac  12986  ctinf  13114  strsetsid  13178  imasaddfnlemg  13460  tgcn  15002  tgcnp  15003  cnss2  15021  cncnp  15024  sslm  15041  metrest  15300  rescncf  15375  suplociccex  15419  limcresi  15460  uspgr2wlkeq  16289  nninfsellemeq  16723