Theorem ssralv 3166

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3096	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	imim1d 75	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
3	2	ralimdv2 2505	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   ⊆ wss 3076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-ral 2422  df-in 3082  df-ss 3089

This theorem is referenced by:  iinss1  3833  poss  4228  sess2  4268  trssord  4310  funco  5171  funimaexglem  5214  isores3  5724  isoini2  5728  smores  6197  smores2  6199  tfrlem5  6219  resixp  6635  ac6sfi  6800  difinfinf  6994  peano5nnnn  7724  peano5nni  8747  caucvgre  10785  rexanuz  10792  cau3lem  10918  isumclim3  11224  fsumiun  11278  ctinf  11979  strsetsid  12031  tgcn  12416  tgcnp  12417  cnss2  12435  cncnp  12438  sslm  12455  metrest  12714  rescncf  12776  suplociccex  12811  limcresi  12843  nninfsellemeq  13385