Theorem ssralv 3312

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3242	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	imim1d 75	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
3	2	ralimdv2 2620	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-ral 2533  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  iinss1  4024  poss  4443  sess2  4483  trssord  4525  funco  5417  funimaexglem  5464  isores3  6021  isoini2  6025  smores  6563  smores2  6565  tfrlem5  6585  resixp  7015  ac6sfi  7202  difinfinf  7442  peano5nnnn  8260  peano5nni  9310  flapcl  10722  flaplelt  10724  caucvgre  11762  rexanuz  11769  cau3lem  11896  isumclim3  12208  fsumiun  12262  pcfac  13151  ctinf  13372  strsetsid  13436  imasaddfnlemg  13686  tgcn  15361  tgcnp  15362  cnss2  15380  cncnp  15383  sslm  15400  metrest  15659  rescncf  15734  suplociccex  15778  limcresi  15819  uspgr2wlkeq  16728  nninfsellemeq  17179