Theorem ssralv 3306

Description: Quantification restricted to a subclass. (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssralv	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ssralv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3236	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	imim1d 75	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
3	2	ralimdv2 2614	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-ral 2527  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  iinss1  4008  poss  4424  sess2  4464  trssord  4506  funco  5397  funimaexglem  5444  isores3  5994  isoini2  5998  smores  6536  smores2  6538  tfrlem5  6558  resixp  6981  ac6sfi  7168  difinfinf  7405  peano5nnnn  8223  peano5nni  9257  caucvgre  11691  rexanuz  11698  cau3lem  11824  isumclim3  12134  fsumiun  12188  pcfac  13073  ctinf  13265  strsetsid  13329  imasaddfnlemg  13578  tgcn  15199  tgcnp  15200  cnss2  15218  cncnp  15221  sslm  15238  metrest  15497  rescncf  15572  suplociccex  15616  limcresi  15657  uspgr2wlkeq  16486  nninfsellemeq  16918