Theorem 2rmoswap 3752

Description: A condition allowing to swap restricted "at most one" and restricted existential quantifiers, analogous to 2moswap 2725. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2rmoswap	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem 2rmoswap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 3146	. . 3 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2	1	ralbii 3165	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
3		df-ral 3143	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
4		moanimv 2700	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
5	4	albii 1816	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	3, 5	bitr4i 280	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7		2moswapv 2710	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → ∃*𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))))
8		df-rmo 3146	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
9		r19.42v 3350	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
10		df-rex 3144	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
11		an12 643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
12	11	exbii 1844	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
13	10, 12	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
14	9, 13	bitr3i 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
15	14	mobii 2627	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
16	8, 15	bitri 277	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
17		df-rmo 3146	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
18		r19.42v 3350	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
19		df-rex 3144	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
20	18, 19	bitr3i 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
21	20	mobii 2627	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ∃*𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
22	17, 21	bitri 277	. . . 4 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
23	7, 16, 22	3imtr4g 298	. . 3 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
24	6, 23	sylbi 219	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
25	2, 24	sylbi 219	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1531  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  ∃*wmo 2616  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ∃*wrmo 3141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rmo 3146

This theorem is referenced by:  2reu1  3881