Theorem 2rmoswap 3757

Description: A condition allowing to swap restricted "at most one" and restricted existential quantifiers, analogous to 2moswap 2639. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2rmoswap	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem 2rmoswap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 3375	. . 3 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2	1	ralbii 3092	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
3		df-ral 3061	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
4		moanimv 2614	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
5	4	albii 1820	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	3, 5	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7		2moswapv 2624	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → ∃*𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))))
8		df-rmo 3375	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
9		r19.42v 3189	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
10		df-rex 3070	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
11		an12 642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
12	11	exbii 1849	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
13	10, 12	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
14	9, 13	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
15	14	mobii 2541	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
16	8, 15	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
17		df-rmo 3375	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
18		r19.42v 3189	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
19		df-rex 3070	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
20	18, 19	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
21	20	mobii 2541	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ∃*𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
22	17, 21	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
23	7, 16, 22	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
24	6, 23	sylbi 216	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
25	2, 24	sylbi 216	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105  ∃*wmo 2531  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ∃*wrmo 3374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-tru 1543  df-ex 1781  df-nf 1785  df-mo 2533  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375

This theorem is referenced by:  2reu1  3891