Theorem 2reu1 3845

Description: Double restricted existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one, analogous to 2eu1 2676. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu1	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem 2reu1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2reu5a 3702	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
2		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
3		rsp 3251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
4	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
5	4	impcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
6	2, 5	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
7	6	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
8	7	rmoimia 3699	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
9		nfra1 3287	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑
10	9	rmoanim 3842	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
11	8, 10	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
12	11	ancrd 561	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
13		2rmoswap 3719	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
14	13	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
15	14	imdistani 579	. . . . . . 7 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
16	12, 15	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
17	1, 16	simplbiim 514	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
18		2reu2rex 3378	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
19		rexcom 3292	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
20	18, 19	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
21	18, 20	jca 521	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
22	17, 21	jctild 535	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
23		reu5 3368	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
24		reu5 3368	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
25	23, 24	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
26		an4 669	. . . . 5 ⊢ (((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
27	25, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
28	22, 27	imbitrrdi 255	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
29	28	com12 33	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
30		2rexreu 3720	. 2 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
31	29, 30	impbid1 228	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∃!wreu 3364  ∃*wrmo 3365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-nf 1817  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367

This theorem is used by:  2reu2  3846  2sqreu  27783  2sqreunn  27784  2sqreult  27785  2sqreultb  27786  2sqreunnlt  27787  2sqreunnltb  27788  2reu3  48179