Theorem 2reu1 3826

Description: Double restricted existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one, analogous to 2eu1 2652. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu1	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem 2reu1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2reu5a 3674	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
2		simprr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
3		rsp 3129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
5	4	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
6	2, 5	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
7	6	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
8	7	rmoimia 3671	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
9		nfra1 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑
10	9	rmoanim 3823	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
11	8, 10	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
12	11	ancrd 551	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
13		2rmoswap 3691	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
14	13	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
15	14	imdistani 568	. . . . . . 7 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
16	12, 15	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
17	1, 16	simplbiim 504	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
18		2reu2rex 3353	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
19		rexcom 3281	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
20	18, 19	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
21	18, 20	jca 511	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
22	17, 21	jctild 525	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
23		reu5 3351	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
24		reu5 3351	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
25	23, 24	anbi12i 626	. . . . 5 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
26		an4 652	. . . . 5 ⊢ (((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
27	25, 26	bitri 274	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
28	22, 27	syl6ibr 251	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
29	28	com12 32	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
30		2rexreu 3692	. 2 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
31	29, 30	impbid1 224	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065  ∃*wrmo 3066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-tru 1542  df-ex 1784  df-nf 1788  df-mo 2540  df-eu 2569  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071

This theorem is referenced by:  2reu2  3827  2sqreu  26509  2sqreunn  26510  2sqreult  26511  2sqreultb  26512  2sqreunnlt  26513  2sqreunnltb  26514  2reu3  44489