Theorem dffr6 5644

Description: Alternate definition of df-fr 5641. See dffr5 35734 for a definition without dummy variables (but note that their equivalence uses ax-sep 5302). (Contributed by BJ, 16-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dffr6	⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dffr6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velpw 4610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
2	1	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
3		velsn 4647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
4	3	bicomi 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})
5	4	necon3abii 2985	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ {∅})
6	2, 5	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {∅}))
7		eldif 3973	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {∅}))
8	6, 7	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ↔ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
9	8	imbi1i 349	. . 3 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦))
10	9	albii 1816	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦))
11		df-fr 5641	. 2 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦))
12		df-ral 3060	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦))
13	10, 11, 12	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})∃𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝑧𝑅𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148   Fr wfr 5638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1540  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-v 3480  df-dif 3966  df-ss 3980  df-pw 4607  df-sn 4632  df-fr 5641

This theorem is referenced by:  frd  5645