Theorem disjprsn 4671

Description: The disjoint intersection of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjprsn	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)

Proof of Theorem disjprsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4593	. . 3 ⊢ {𝐶} = {𝐶, 𝐶}
2	1	ineq2i 4114	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶})
3		disjpr2 4670	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶}) = ∅)
4	3	anidms 577	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶}) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2807	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ≠ wne 2955   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  {csn 4584  {cpr 4586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-sn 4585  df-pr 4587

This theorem is used by:  disjtpsn  4672  disjtp2  4673  diftpsn3  4761  funtpg  6595  funcnvtp  6603  hash3tpexb  14642  prodtp  33464  gsumtp  33671