Theorem disjprsn 4439

Description: The disjoint intersection of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjprsn	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)

Proof of Theorem disjprsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4381	. . 3 ⊢ {𝐶} = {𝐶, 𝐶}
2	1	ineq2i 4009	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶})
3		disjpr2 4438	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶}) = ∅)
4	3	anidms 563	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶}) = ∅)
5	2, 4	syl5eq 2845	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ≠ wne 2971   ∩ cin 3768  ∅c0 4115  {csn 4368  {cpr 4370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-ext 2777

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-sn 4369  df-pr 4371

This theorem is referenced by:  disjtpsn  4440  disjtp2  4441  diftpsn3  4521  funtpg  6155  funcnvtp  6163  prodtp  30091