Theorem disjprsn 4690

Description: The disjoint intersection of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjprsn	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)

Proof of Theorem disjprsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4614	. . 3 ⊢ {𝐶} = {𝐶, 𝐶}
2	1	ineq2i 4192	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶})
3		disjpr2 4689	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶}) = ∅)
4	3	anidms 566	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶}) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2782	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ≠ wne 2932   ∩ cin 3925  ∅c0 4308  {csn 4601  {cpr 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-sn 4602  df-pr 4604

This theorem is referenced by:  disjtpsn  4691  disjtp2  4692  diftpsn3  4778  funtpg  6591  funcnvtp  6599  hash3tpexb  14512  prodtp  32806  gsumtp  33052