Theorem disjprsn 4655

Description: The disjoint intersection of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjprsn	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)

Proof of Theorem disjprsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4579	. . 3 ⊢ {𝐶} = {𝐶, 𝐶}
2	1	ineq2i 4148	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶})
3		disjpr2 4654	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶}) = ∅)
4	3	anidms 566	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶}) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2791	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ≠ wne 2944   ∩ cin 3890  ∅c0 4261  {csn 4566  {cpr 4568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2710

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-sb 2071  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-sn 4567  df-pr 4569

This theorem is referenced by:  disjtpsn  4656  disjtp2  4657  diftpsn3  4740  funtpg  6485  funcnvtp  6493  prodtp  31120