Theorem disjprsn 4610

Description: The disjoint intersection of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjprsn	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)

Proof of Theorem disjprsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4538	. . 3 ⊢ {𝐶} = {𝐶, 𝐶}
2	1	ineq2i 4136	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶})
3		disjpr2 4609	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶}) = ∅)
4	3	anidms 570	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐶}) = ∅)
5	2, 4	syl5eq 2845	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ≠ wne 2987   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {csn 4525  {cpr 4527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-tru 1541  df-ex 1782  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528

This theorem is referenced by:  disjtpsn  4611  disjtp2  4612  diftpsn3  4695  funtpg  6379  funcnvtp  6387  prodtp  30569