Theorem diftpsn3 4754

Description: Removal of a singleton from an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.) (Proof shortened by JJ, 23-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diftpsn3	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem diftpsn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjprsn 4667	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
2		disj3 4404	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
3	1, 2	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
4	3	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
5		difid 4326	. . . 4 ⊢ ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅)
7	4, 6	uneq12d 4119	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅))
8		df-tp 4581	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
9	8	difeq1i 4072	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶})
10		difundir 4241	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶}))
11	9, 10	eqtr2i 2755	. 2 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶})
12		un0 4344	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅) = {𝐴, 𝐵}
13	7, 11, 12	3eqtr3g 2789	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4283  {csn 4576  {cpr 4578  {ctp 4580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581

This theorem is referenced by:  f13dfv  7208  ex-chn2  18544  nb3grprlem2  29360  cplgr3v  29414  frgr3v  30253  3vfriswmgr  30256  signswch  34572  signstfvcl  34584