Theorem prodtp 32806

Description: A product over a triple is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodpr.1	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
prodpr.2	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
prodpr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
prodpr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
prodpr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
prodtp.1	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
prodtp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
prodtp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
prodtp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
prodtp.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prodtp	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodtp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2		prodtp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
3		disjprsn 4690	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
5		df-tp 4606	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
7		tpfi 9337	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
9		vex 3463	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
10	9	eltp 4665	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶))
11		prodpr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
13		prodpr.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
15	12, 14	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	15	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17		prodpr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
19		prodpr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
21	18, 20	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	21	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
23		prodtp.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐺)
25		prodtp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐺 ∈ ℂ)
27	24, 26	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) → (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶))
30	16, 22, 28, 29	mpjao3dan 1434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
31	10, 30	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
32	4, 6, 8, 31	fprodsplit 15982	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
33		prodpr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
34		prodpr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
35		prodpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
36	11, 17, 33, 34, 13, 19, 35	prodpr 32805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))
37		prodtp.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
38	23	prodsn 15978	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
39	37, 25, 38	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
40	36, 39	oveq12d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))
41	32, 40	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925  ∅c0 4308  {csn 4601  {cpr 4603  {ctp 4605  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  ℂcc 11127   · cmul 11134  ∏cprod 15919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-prod 15920

This theorem is referenced by:  hgt750lemg  34686