Theorem prodtp 32834

Description: A product over a triple is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodpr.1	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
prodpr.2	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
prodpr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
prodpr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
prodpr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
prodtp.1	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
prodtp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
prodtp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
prodtp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
prodtp.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prodtp	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodtp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2		prodtp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
3		disjprsn 4719	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
5		df-tp 4636	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
7		tpfi 9363	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
9		vex 3482	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
10	9	eltp 4694	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶))
11		prodpr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
13		prodpr.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
15	12, 14	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	15	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17		prodpr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
19		prodpr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
21	18, 20	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	21	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
23		prodtp.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐺)
25		prodtp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐺 ∈ ℂ)
27	24, 26	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) → (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶))
30	16, 22, 28, 29	mpjao3dan 1431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
31	10, 30	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
32	4, 6, 8, 31	fprodsplit 15999	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
33		prodpr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
34		prodpr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
35		prodpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
36	11, 17, 33, 34, 13, 19, 35	prodpr 32833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))
37		prodtp.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
38	23	prodsn 15995	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
39	37, 25, 38	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
40	36, 39	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))
41	32, 40	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℂcc 11151   · cmul 11158  ∏cprod 15936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937

This theorem is referenced by:  hgt750lemg  34648