Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodtp 31606
Description: A product over a triple is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prodpr.1 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
prodpr.2 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
prodpr.a (𝜑𝐴𝑉)
prodpr.b (𝜑𝐵𝑊)
prodpr.e (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3 (𝜑𝐴𝐵)
prodtp.1 (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
prodtp.c (𝜑𝐶𝑋)
prodtp.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
prodtp.2 (𝜑𝐴𝐶)
prodtp.3 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
prodtp (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodtp
StepHypRef Expression
1 prodtp.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
2 prodtp.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
3 disjprsn 4673 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
41, 2, 3syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
5 df-tp 4589 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
7 tpfi 9263 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
9 vex 3447 . . . . 5 𝑘 ∈ V
109eltp 4647 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶))
11 prodpr.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
1211adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
13 prodpr.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
1512, 14eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
1615adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17 prodpr.2 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
19 prodpr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
2118, 20eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
2221adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
23 prodtp.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
2423adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐺)
25 prodtp.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐺 ∈ ℂ)
2724, 26eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
2827adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
29 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶)) → (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶))
3016, 22, 28, 29mpjao3dan 1431 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3110, 30sylan2b 594 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
324, 6, 8, 31fprodsplit 15841 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
33 prodpr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
34 prodpr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
35 prodpr.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
3611, 17, 33, 34, 13, 19, 35prodpr 31605 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))
37 prodtp.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
3823prodsn 15837 . . . 4 ((𝐶𝑋𝐺 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
3937, 25, 38syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
4036, 39oveq12d 7371 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))
4132, 40eqtrd 2776 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  cun 3906  cin 3907  c0 4280  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  cc 11045   · cmul 11052  cprod 15780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-prod 15781
This theorem is referenced by:  hgt750lemg  33136
  Copyright terms: Public domain W3C validator