Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodtp 31779
Description: A product over a triple is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prodpr.1 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐ท = ๐ธ)
prodpr.2 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ท = ๐น)
prodpr.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
prodpr.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
prodpr.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
prodpr.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
prodpr.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
prodtp.1 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ ๐ท = ๐บ)
prodtp.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‹)
prodtp.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
prodtp.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)
prodtp.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
prodtp (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}๐ท = ((๐ธ ยท ๐น) ยท ๐บ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐‘˜,๐ธ   ๐‘˜,๐น   ๐‘˜,๐บ   ๐‘˜,๐‘‰   ๐‘˜,๐‘Š   ๐‘˜,๐‘‹   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ท(๐‘˜)

Proof of Theorem prodtp
StepHypRef Expression
1 prodtp.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)
2 prodtp.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
3 disjprsn 4679 . . . 4 ((๐ด โ‰  ๐ถ โˆง ๐ต โ‰  ๐ถ) โ†’ ({๐ด, ๐ต} โˆฉ {๐ถ}) = โˆ…)
41, 2, 3syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ({๐ด, ๐ต} โˆฉ {๐ถ}) = โˆ…)
5 df-tp 4595 . . . 4 {๐ด, ๐ต, ๐ถ} = ({๐ด, ๐ต} โˆช {๐ถ})
65a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐ด, ๐ต, ๐ถ} = ({๐ด, ๐ต} โˆช {๐ถ}))
7 tpfi 9273 . . . 4 {๐ด, ๐ต, ๐ถ} โˆˆ Fin
87a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐ด, ๐ต, ๐ถ} โˆˆ Fin)
9 vex 3451 . . . . 5 ๐‘˜ โˆˆ V
109eltp 4653 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต, ๐ถ} โ†” (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต โˆจ ๐‘˜ = ๐ถ))
11 prodpr.1 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐ท = ๐ธ)
1211adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ท = ๐ธ)
13 prodpr.e . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1512, 14eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1615adantlr 714 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต โˆจ ๐‘˜ = ๐ถ)) โˆง ๐‘˜ = ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
17 prodpr.2 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ท = ๐น)
1817adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐ท = ๐น)
19 prodpr.f . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
2019adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
2118, 20eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2221adantlr 714 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต โˆจ ๐‘˜ = ๐ถ)) โˆง ๐‘˜ = ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
23 prodtp.1 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ ๐ท = ๐บ)
2423adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ถ) โ†’ ๐ท = ๐บ)
25 prodtp.g . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
2625adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ถ) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
2724, 26eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = ๐ถ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2827adantlr 714 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต โˆจ ๐‘˜ = ๐ถ)) โˆง ๐‘˜ = ๐ถ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
29 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต โˆจ ๐‘˜ = ๐ถ)) โ†’ (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต โˆจ ๐‘˜ = ๐ถ))
3016, 22, 28, 29mpjao3dan 1432 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ = ๐ด โˆจ ๐‘˜ = ๐ต โˆจ ๐‘˜ = ๐ถ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3110, 30sylan2b 595 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
324, 6, 8, 31fprodsplit 15857 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}๐ท = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ท))
33 prodpr.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
34 prodpr.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
35 prodpr.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
3611, 17, 33, 34, 13, 19, 35prodpr 31778 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น))
37 prodtp.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‹)
3823prodsn 15853 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ท = ๐บ)
3937, 25, 38syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ท = ๐บ)
4036, 39oveq12d 7379 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ถ}๐ท) = ((๐ธ ยท ๐น) ยท ๐บ))
4132, 40eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}๐ท = ((๐ธ ยท ๐น) ยท ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ w3o 1087   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โˆช cun 3912   โˆฉ cin 3913  โˆ…c0 4286  {csn 4590  {cpr 4592  {ctp 4594  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  โ„‚cc 11057   ยท cmul 11064  โˆcprod 15796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-prod 15797
This theorem is referenced by:  hgt750lemg  33331
  Copyright terms: Public domain W3C validator