Theorem prodtp 32829

Description: A product over a triple is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodpr.1	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
prodpr.2	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
prodpr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
prodpr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
prodpr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
prodtp.1	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
prodtp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
prodtp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
prodtp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
prodtp.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prodtp	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodtp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2		prodtp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
3		disjprsn 4714	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
5		df-tp 4631	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
7		tpfi 9365	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
9		vex 3484	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
10	9	eltp 4689	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶))
11		prodpr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
13		prodpr.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
15	12, 14	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	15	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17		prodpr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
19		prodpr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
21	18, 20	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	21	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
23		prodtp.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐺)
25		prodtp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐺 ∈ ℂ)
27	24, 26	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
29		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) → (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶))
30	16, 22, 28, 29	mpjao3dan 1434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
31	10, 30	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
32	4, 6, 8, 31	fprodsplit 16002	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
33		prodpr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
34		prodpr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
35		prodpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
36	11, 17, 33, 34, 13, 19, 35	prodpr 32828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))
37		prodtp.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
38	23	prodsn 15998	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
39	37, 25, 38	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
40	36, 39	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))
41	32, 40	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628  {ctp 4630  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153   · cmul 11160  ∏cprod 15939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940

This theorem is referenced by:  hgt750lemg  34669