Theorem prodtp 33491

Description: A product over a triple is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodpr.1	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
prodpr.2	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
prodpr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
prodpr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
prodpr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
prodtp.1	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
prodtp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
prodtp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
prodtp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
prodtp.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
prodtp	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodtp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2		prodtp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
3		disjprsn 4675	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
5		df-tp 4593	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
7		tpfi 9348	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
9		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
10	9	eltp 4650	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶))
11		prodpr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐸)
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
13		prodpr.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
15	12, 14	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	15	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17		prodpr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐷 = 𝐹)
18	17	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
19		prodpr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
21	18, 20	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	21	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
23		prodtp.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐷 = 𝐺)
24	23	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐺)
25		prodtp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐺 ∈ ℂ)
27	24, 26	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
29		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) → (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶))
30	16, 22, 28, 29	mpjao3dan 1460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ∨ 𝑘 = 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
31	10, 30	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
32	4, 6, 8, 31	fprodsplit 16165	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
33		prodpr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
34		prodpr.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
35		prodpr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
36	11, 17, 33, 34, 13, 19, 35	prodpr 33490	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))
37		prodtp.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
38	23	prodsn 16161	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
39	37, 25, 38	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
40	36, 39	oveq12d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))
41	32, 40	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  ℂcc 11228   · cmul 11235  ∏cprod 16104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-prod 16105

This theorem is used by:  hgt750lemg  35366