Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodtp 30553
Description: A product over a triple is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prodpr.1 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
prodpr.2 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
prodpr.a (𝜑𝐴𝑉)
prodpr.b (𝜑𝐵𝑊)
prodpr.e (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
prodpr.f (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
prodpr.3 (𝜑𝐴𝐵)
prodtp.1 (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
prodtp.c (𝜑𝐶𝑋)
prodtp.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
prodtp.2 (𝜑𝐴𝐶)
prodtp.3 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
prodtp (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodtp
StepHypRef Expression
1 prodtp.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
2 prodtp.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
3 disjprsn 4624 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
41, 2, 3syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
5 df-tp 4544 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
7 tpfi 8782 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
9 vex 3472 . . . . 5 𝑘 ∈ V
109eltp 4600 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶))
11 prodpr.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
1211adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐸)
13 prodpr.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1413adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐸 ∈ ℂ)
1512, 14eqeltrd 2914 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
1615adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
17 prodpr.2 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
1817adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐹)
19 prodpr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2019adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐹 ∈ ℂ)
2118, 20eqeltrd 2914 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
2221adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
23 prodtp.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
2423adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐺)
25 prodtp.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
2625adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐺 ∈ ℂ)
2724, 26eqeltrd 2914 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
2827adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶)) ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
29 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶)) → (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶))
3016, 22, 28, 29mpjao3dan 1428 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵𝑘 = 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3110, 30sylan2b 596 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
324, 6, 8, 31fprodsplit 15311 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
33 prodpr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
34 prodpr.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
35 prodpr.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
3611, 17, 33, 34, 13, 19, 35prodpr 30552 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 · 𝐹))
37 prodtp.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
3823prodsn 15307 . . . 4 ((𝐶𝑋𝐺 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
3937, 25, 38syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
4036, 39oveq12d 7158 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))
4132, 40eqtrd 2857 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 · 𝐹) · 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cun 3906  cin 3907  c0 4265  {csn 4539  {cpr 4541  {ctp 4543  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  cc 10524   · cmul 10531  cprod 15250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-prod 15251
This theorem is referenced by:  hgt750lemg  31999
  Copyright terms: Public domain W3C validator