![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > prodtp | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A product over a triple is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
prodpr.1 | โข (๐ = ๐ด โ ๐ท = ๐ธ) |
prodpr.2 | โข (๐ = ๐ต โ ๐ท = ๐น) |
prodpr.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
prodpr.b | โข (๐ โ ๐ต โ ๐) |
prodpr.e | โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
prodpr.f | โข (๐ โ ๐น โ โ) |
prodpr.3 | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
prodtp.1 | โข (๐ = ๐ถ โ ๐ท = ๐บ) |
prodtp.c | โข (๐ โ ๐ถ โ ๐) |
prodtp.g | โข (๐ โ ๐บ โ โ) |
prodtp.2 | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ถ) |
prodtp.3 | โข (๐ โ ๐ต โ ๐ถ) |
Ref | Expression |
---|---|
prodtp | โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}๐ท = ((๐ธ ยท ๐น) ยท ๐บ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prodtp.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ถ) | |
2 | prodtp.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ถ) | |
3 | disjprsn 4718 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ถ โง ๐ต โ ๐ถ) โ ({๐ด, ๐ต} โฉ {๐ถ}) = โ ) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2anc 584 | . . 3 โข (๐ โ ({๐ด, ๐ต} โฉ {๐ถ}) = โ ) |
5 | df-tp 4633 | . . . 4 โข {๐ด, ๐ต, ๐ถ} = ({๐ด, ๐ต} โช {๐ถ}) | |
6 | 5 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต, ๐ถ} = ({๐ด, ๐ต} โช {๐ถ})) |
7 | tpfi 9322 | . . . 4 โข {๐ด, ๐ต, ๐ถ} โ Fin | |
8 | 7 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต, ๐ถ} โ Fin) |
9 | vex 3478 | . . . . 5 โข ๐ โ V | |
10 | 9 | eltp 4692 | . . . 4 โข (๐ โ {๐ด, ๐ต, ๐ถ} โ (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต โจ ๐ = ๐ถ)) |
11 | prodpr.1 | . . . . . . . 8 โข (๐ = ๐ด โ ๐ท = ๐ธ) | |
12 | 11 | adantl 482 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ท = ๐ธ) |
13 | prodpr.e | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ธ โ โ) | |
14 | 13 | adantr 481 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ธ โ โ) |
15 | 12, 14 | eqeltrd 2833 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ด) โ ๐ท โ โ) |
16 | 15 | adantlr 713 | . . . . 5 โข (((๐ โง (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต โจ ๐ = ๐ถ)) โง ๐ = ๐ด) โ ๐ท โ โ) |
17 | prodpr.2 | . . . . . . . 8 โข (๐ = ๐ต โ ๐ท = ๐น) | |
18 | 17 | adantl 482 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐ท = ๐น) |
19 | prodpr.f | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐น โ โ) | |
20 | 19 | adantr 481 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐น โ โ) |
21 | 18, 20 | eqeltrd 2833 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ต) โ ๐ท โ โ) |
22 | 21 | adantlr 713 | . . . . 5 โข (((๐ โง (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต โจ ๐ = ๐ถ)) โง ๐ = ๐ต) โ ๐ท โ โ) |
23 | prodtp.1 | . . . . . . . 8 โข (๐ = ๐ถ โ ๐ท = ๐บ) | |
24 | 23 | adantl 482 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ = ๐ถ) โ ๐ท = ๐บ) |
25 | prodtp.g | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐บ โ โ) | |
26 | 25 | adantr 481 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ = ๐ถ) โ ๐บ โ โ) |
27 | 24, 26 | eqeltrd 2833 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ = ๐ถ) โ ๐ท โ โ) |
28 | 27 | adantlr 713 | . . . . 5 โข (((๐ โง (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต โจ ๐ = ๐ถ)) โง ๐ = ๐ถ) โ ๐ท โ โ) |
29 | simpr 485 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต โจ ๐ = ๐ถ)) โ (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต โจ ๐ = ๐ถ)) | |
30 | 16, 22, 28, 29 | mpjao3dan 1431 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ = ๐ด โจ ๐ = ๐ต โจ ๐ = ๐ถ)) โ ๐ท โ โ) |
31 | 10, 30 | sylan2b 594 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}) โ ๐ท โ โ) |
32 | 4, 6, 8, 31 | fprodsplit 15909 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}๐ท = (โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท ยท โ๐ โ {๐ถ}๐ท)) |
33 | prodpr.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
34 | prodpr.b | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐) | |
35 | prodpr.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) | |
36 | 11, 17, 33, 34, 13, 19, 35 | prodpr 32027 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น)) |
37 | prodtp.c | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ ๐) | |
38 | 23 | prodsn 15905 | . . . 4 โข ((๐ถ โ ๐ โง ๐บ โ โ) โ โ๐ โ {๐ถ}๐ท = ๐บ) |
39 | 37, 25, 38 | syl2anc 584 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ถ}๐ท = ๐บ) |
40 | 36, 39 | oveq12d 7426 | . 2 โข (๐ โ (โ๐ โ {๐ด, ๐ต}๐ท ยท โ๐ โ {๐ถ}๐ท) = ((๐ธ ยท ๐น) ยท ๐บ)) |
41 | 32, 40 | eqtrd 2772 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}๐ท = ((๐ธ ยท ๐น) ยท ๐บ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โจ w3o 1086 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2940 โช cun 3946 โฉ cin 3947 โ c0 4322 {csn 4628 {cpr 4630 {ctp 4632 (class class class)co 7408 Fincfn 8938 โcc 11107 ยท cmul 11114 โcprod 15848 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-rp 12974 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-seq 13966 df-exp 14027 df-hash 14290 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-sqrt 15181 df-abs 15182 df-clim 15431 df-prod 15849 |
This theorem is referenced by: hgt750lemg 33661 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |