Theorem disjpr2 4713

Description: Two completely distinct unordered pairs are disjoint. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Proof shortened by JJ, 23-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjpr2	⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)

Proof of Theorem disjpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4629	. . . 4 ⊢ {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
2	1	ineq2i 4217	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷}))
3		indi 4284	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}))
4	2, 3	eqtri 2765	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}))
5		df-pr 4629	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
6	5	ineq1i 4216	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
7		indir 4286	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶}))
8	6, 7	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶}))
9		disjsn2 4712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
10		disjsn2 4712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
11	9, 10	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
12		un00 4445	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶})) = ∅)
13	11, 12	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶})) = ∅)
14	8, 13	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
16	5	ineq1i 4216	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷})
17		indir 4286	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷}))
18	16, 17	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷}))
19		disjsn2 4712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐷 → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
20		disjsn2 4712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
21	19, 20	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
22		un00 4445	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
23	21, 22	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
24	18, 23	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
26	15, 25	uneq12d 4169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷})) = (∅ ∪ ∅))
27		un0 4394	. . 3 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2793	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
29	4, 28	eqtrid 2789	1 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ≠ wne 2940   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-sn 4627  df-pr 4629

This theorem is referenced by:  disjprsn  4714  disjtp2  4716  funcnvqp  6630  evl1deg3  33603