Theorem cnfldfunALTOLD 21311

Description: Obsolete version of cnfldfunALT 21298 as of 27-Apr-2025. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldfunALTOLD	⊢ Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfunALTOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnplusgndx 17262	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2		basendxnmulrndx 17275	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3		plusgndxnmulrndx 17277	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4		fvex 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
5		fvex 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
6		fvex 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ndx) ∈ V
7		cnex 11219	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
8		addex 13003	. . . . . . . 8 ⊢ + ∈ V
9		mulex 13005	. . . . . . . 8 ⊢ · ∈ V
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	funtp 6609	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
11	1, 2, 3, 10	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
12		fvex 6907	. . . . . . 7 ⊢ (*𝑟‘ndx) ∈ V
13		cjf 15083	. . . . . . . 8 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
14		fex 7236	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
15	13, 7, 14	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ∈ V
16	12, 15	funsn 6605	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
17	11, 16	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
18	7, 8, 9	dmtpop 6222	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)}
19	15	dmsnop 6220	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} = {(*𝑟‘ndx)}
20	18, 19	ineq12i 4209	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
21		starvndxnbasendx 17284	. . . . . . . 8 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
22	21	necomi 2985	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
23		starvndxnplusgndx 17285	. . . . . . . 8 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
24	23	necomi 2985	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
25		starvndxnmulrndx 17286	. . . . . . . 8 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
26	25	necomi 2985	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
27		disjtpsn 4720	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
28	22, 24, 26, 27	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
29	20, 28	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅
30		funun 6598	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
31	17, 29, 30	mp2an 690	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
32		slotsdifplendx 17355	. . . . . . . 8 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx))
33	32	simpri 484	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
34		dsndxntsetndx 17373	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
35	34	necomi 2985	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
36		slotsdifdsndx 17374	. . . . . . . 8 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
37	36	simpri 484	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38		fvex 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ V
39		fvex 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘ndx) ∈ V
40		fvex 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘ndx) ∈ V
41		fvex 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
42		letsr 18584	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
43	42	elexi 3484	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ ∈ V
44		absf 15316	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
45		fex 7236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
46	44, 7, 45	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ abs ∈ V
47		subf 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
48	7, 7	xpex 7754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
49		fex 7236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
50	47, 48, 49	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ − ∈ V
51	46, 50	coex 7936	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
52	38, 39, 40, 41, 43, 51	funtp 6609	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩})
53	33, 35, 37, 52	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
54		fvex 6907	. . . . . . 7 ⊢ (UnifSet‘ndx) ∈ V
55		fvex 6907	. . . . . . 7 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
56	54, 55	funsn 6605	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
57	53, 56	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
58	41, 43, 51	dmtpop 6222	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} = {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}
59	55	dmsnop 6220	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} = {(UnifSet‘ndx)}
60	58, 59	ineq12i 4209	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
61		slotsdifunifndx 17381	. . . . . . . 8 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
62		unifndxntsetndx 17380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (UnifSet‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
63	62	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
65	64	anim1i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))) → ((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))))
66		3anass 1092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ↔ ((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))))
67	65, 66	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))) → ((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
68	61, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
69		disjtpsn 4720	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
71	60, 70	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
72		funun 6598	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ∧ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
73	57, 71, 72	mp2an 690	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
74	31, 73	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ (Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
75		dmun 5912	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
76		dmun 5912	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
77	75, 76	ineq12i 4209	. . . 4 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
78	18, 58	ineq12i 4209	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
79		tsetndxnbasendx 17336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
80	79	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
81		tsetndxnplusgndx 17337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
82	81	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
83		tsetndxnmulrndx 17338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
84	83	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
85	80, 82, 84	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx))
86		plendxnbasendx 17350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
87	86	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
88		plendxnplusgndx 17351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (le‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
89	88	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx)
90		plendxnmulrndx 17352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (le‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
91	90	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)
92	87, 89, 91	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx))
93		dsndxnbasendx 17369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
94	93	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
95		dsndxnplusgndx 17370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
96	95	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
97		dsndxnmulrndx 17371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
98	97	necomi 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
99	94, 96, 98	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
100		disjtp2 4721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅)
101	85, 92, 99, 100	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
102	78, 101	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
103	18, 59	ineq12i 4209	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
104		unifndxnbasendx 17379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (UnifSet‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
105	104	necomi 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
107		3simpa 1145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
108		3anass 1092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ↔ ((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))))
109	106, 107, 108	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
110	109	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))) → ((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
111	61, 110	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
112		disjtpsn 4720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
113	111, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
114	103, 113	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
115	102, 114	pm3.2i 469	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
116		undisj2 4463	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
117	115, 116	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
118	19, 58	ineq12i 4209	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
119		tsetndxnstarvndx 17339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
120		necom 2984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
121	120	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) → (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
122	121	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)) → (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
123	32, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
124		necom 2984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
125	124	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) → (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
126	125	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
127	36, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
128		disjtpsn 4720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
129	119, 123, 127, 128	mp3an 1457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
130	129	ineqcomi 4202	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
131	118, 130	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
132	19, 59	ineq12i 4209	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
133		simpl3 1190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))) → (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
134	61, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
135		disjsn2 4717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) → ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
136	134, 135	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
137	132, 136	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
138	131, 137	pm3.2i 469	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
139		undisj2 4463	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
140	138, 139	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
141	117, 140	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
142		undisj1 4462	. . . . 5 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) ↔ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
143	141, 142	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
144	77, 143	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
145		funun 6598	. . 3 ⊢ (((Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ∧ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) → Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
146	74, 144, 145	mp2an 690	. 2 ⊢ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
147		dfcnfldOLD 21299	. . 3 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
148	147	funeqi 6573	. 2 ⊢ (Fun ℂfld ↔ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
149	146, 148	mpbir 230	1 ⊢ Fun ℂfld

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463   ∪ cun 3943   ∩ cin 3944  ∅c0 4323  {csn 4629  {ctp 4633  ⟨cop 4635   × cxp 5675  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6541  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  ℂcc 11136  ℝcr 11137   + caddc 11141   · cmul 11143   ≤ cle 11279   − cmin 11474  ∗ccj 15075  abscabs 15213  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  ._rcmulr 17233  *_𝑟cstv 17234  TopSetcts 17238  lecple 17239  distcds 17241  UnifSetcunif 17242   TosetRel ctsr 18556  MetOpencmopn 21273  metUnifcmetu 21274  ℂ_fldccnfld 21283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-ps 18557  df-tsr 18558  df-cnfld 21284

This theorem is referenced by: (None)