Theorem cnfldfunALTOLD 21335

Description: Obsolete version of cnfldfunALT 21322 as of 27-Apr-2025. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldfunALTOLD	⊢ Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfunALTOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnplusgndx 17205	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2		basendxnmulrndx 17214	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3		plusgndxnmulrndx 17215	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
5		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
6		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ndx) ∈ V
7		cnex 11105	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
8		addex 12900	. . . . . . . 8 ⊢ + ∈ V
9		mulex 12902	. . . . . . . 8 ⊢ · ∈ V
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	funtp 6547	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
11	1, 2, 3, 10	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
12		fvex 6845	. . . . . . 7 ⊢ (*𝑟‘ndx) ∈ V
13		cjf 15025	. . . . . . . 8 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
14		fex 7170	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
15	13, 7, 14	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ∈ V
16	12, 15	funsn 6543	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
17	11, 16	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
18	7, 8, 9	dmtpop 6174	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)}
19	15	dmsnop 6172	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} = {(*𝑟‘ndx)}
20	18, 19	ineq12i 4168	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
21		starvndxnbasendx 17222	. . . . . . . 8 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
22	21	necomi 2984	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
23		starvndxnplusgndx 17223	. . . . . . . 8 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
24	23	necomi 2984	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
25		starvndxnmulrndx 17224	. . . . . . . 8 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
26	25	necomi 2984	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
27		disjtpsn 4670	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
28	22, 24, 26, 27	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
29	20, 28	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅
30		funun 6536	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
31	17, 29, 30	mp2an 692	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
32		slotsdifplendx 17293	. . . . . . . 8 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx))
33	32	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
34		dsndxntsetndx 17311	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
35	34	necomi 2984	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
36		slotsdifdsndx 17312	. . . . . . . 8 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
37	36	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ V
39		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘ndx) ∈ V
40		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘ndx) ∈ V
41		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
42		letsr 18514	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
43	42	elexi 3461	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ ∈ V
44		absf 15259	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
45		fex 7170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
46	44, 7, 45	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ abs ∈ V
47		subf 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
48	7, 7	xpex 7696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
49		fex 7170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ − ∈ V
51	46, 50	coex 7870	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
52	38, 39, 40, 41, 43, 51	funtp 6547	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩})
53	33, 35, 37, 52	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
54		fvex 6845	. . . . . . 7 ⊢ (UnifSet‘ndx) ∈ V
55		fvex 6845	. . . . . . 7 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
56	54, 55	funsn 6543	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
57	53, 56	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
58	41, 43, 51	dmtpop 6174	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} = {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}
59	55	dmsnop 6172	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} = {(UnifSet‘ndx)}
60	58, 59	ineq12i 4168	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
61		slotsdifunifndx 17319	. . . . . . . 8 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
62		unifndxntsetndx 17318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (UnifSet‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
63	62	necomi 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
65	64	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))) → ((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))))
66		3anass 1094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ↔ ((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))))
67	65, 66	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))) → ((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
68	61, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
69		disjtpsn 4670	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
71	60, 70	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
72		funun 6536	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ∧ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
73	57, 71, 72	mp2an 692	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
74	31, 73	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
75		dmun 5857	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
76		dmun 5857	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
77	75, 76	ineq12i 4168	. . . 4 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
78	18, 58	ineq12i 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
79		tsetndxnbasendx 17274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
80	79	necomi 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
81		tsetndxnplusgndx 17275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
82	81	necomi 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
83		tsetndxnmulrndx 17276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
84	83	necomi 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
85	80, 82, 84	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx))
86		plendxnbasendx 17288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
87	86	necomi 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
88		plendxnplusgndx 17289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (le‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
89	88	necomi 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx)
90		plendxnmulrndx 17290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (le‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
91	90	necomi 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)
92	87, 89, 91	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx))
93		dsndxnbasendx 17307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
94	93	necomi 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
95		dsndxnplusgndx 17308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
96	95	necomi 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
97		dsndxnmulrndx 17309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
98	97	necomi 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
99	94, 96, 98	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
100		disjtp2 4671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅)
101	85, 92, 99, 100	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
102	78, 101	eqtri 2757	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
103	18, 59	ineq12i 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
104		unifndxnbasendx 17317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (UnifSet‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
105	104	necomi 2984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
107		3simpa 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
108		3anass 1094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ↔ ((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))))
109	106, 107, 108	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))) → ((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
111	61, 110	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
112		disjtpsn 4670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
113	111, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
114	103, 113	eqtri 2757	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
115	102, 114	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
116		undisj2 4413	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
117	115, 116	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
118	19, 58	ineq12i 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
119		tsetndxnstarvndx 17277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
120		necom 2983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
121	120	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) → (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)) → (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
123	32, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
124		necom 2983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ↔ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
125	124	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) → (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((*𝑟‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx))
127	36, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
128		disjtpsn 4670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
129	119, 123, 127, 128	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
130	129	ineqcomi 4161	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
131	118, 130	eqtri 2757	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
132	19, 59	ineq12i 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
133		simpl3 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))) → (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
134	61, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
135		disjsn2 4667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) → ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
136	134, 135	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
137	132, 136	eqtri 2757	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
138	131, 137	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
139		undisj2 4413	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
140	138, 139	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
141	117, 140	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
142		undisj1 4412	. . . . 5 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) ↔ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
143	141, 142	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
144	77, 143	eqtri 2757	. . 3 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
145		funun 6536	. . 3 ⊢ (((Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ∧ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) → Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
146	74, 144, 145	mp2an 692	. 2 ⊢ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
147		dfcnfldOLD 21323	. . 3 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
148	147	funeqi 6511	. 2 ⊢ (Fun ℂfld ↔ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
149	146, 148	mpbir 231	1 ⊢ Fun ℂfld

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4283  {csn 4578  {ctp 4582  ⟨cop 4584   × cxp 5620  dom cdm 5622   ∘ ccom 5626  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  ℂcc 11022  ℝcr 11023   + caddc 11027   · cmul 11029   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ∗ccj 15017  abscabs 15155  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  ._rcmulr 17176  *_𝑟cstv 17177  TopSetcts 17181  lecple 17182  distcds 17184  UnifSetcunif 17185   TosetRel ctsr 18486  MetOpencmopn 21297  metUnifcmetu 21298  ℂ_fldccnfld 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-ps 18487  df-tsr 18488  df-cnfld 21308

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