Theorem disjsn2 4678

Description: Two distinct singletons are disjoint. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disjsn2	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Proof of Theorem disjsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 4608	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
2	1	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
3	2	necon3ai 2964	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
4		disjsn 4677	. 2 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5	3, 4	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∩ cin 3912  ∅c0 4287  {csn 4591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-v 3448  df-dif 3916  df-in 3920  df-nul 4288  df-sn 4592

This theorem is referenced by:  disjpr2  4679  disjtpsn  4681  difprsn1  4765  otsndisj  5481  xpsndisj  6120  funprg  6560  funtp  6563  funcnvpr  6568  f1oprg  6834  xp01disjl  8443  enpr2dOLD  9001  phplem1OLD  9168  djuin  9863  pm54.43  9946  pr2nelemOLD  9948  f1oun2prg  14818  s3sndisj  14864  sumpr  15644  cshwsdisj  16982  setsfun0  17055  setscom  17063  gsumpr  19746  dmdprdpr  19842  dprdpr  19843  ablfac1eulem  19865  cnfldfunALT  20846  cnfldfunALTOLD  20847  m2detleib  22017  dishaus  22770  dissnlocfin  22917  xpstopnlem1  23197  perfectlem2  26615  cosnopne  31676  prodpr  31792  esumpr  32754  esum2dlem  32780  prodfzo03  33305  onint1  34997  bj-disjsn01  35496  lindsadd  36144  poimirlem26  36177  sumpair  43362  perfectALTVlem2  46034