Theorem eldmne0 33269

Description: A function of nonempty domain is not empty. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eldmne0	⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐹 → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem eldmne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4286	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐹 → dom 𝐹 ≠ ∅)
2		dmeq 5884	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → dom 𝐹 = dom ∅)
3		dm0 5901	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → dom 𝐹 = ∅)
5	4	necon3i 2987	. 2 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ → 𝐹 ≠ ∅)
6	1, 5	syl 18	1 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐹 → 𝐹 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  dom cdm 5650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-dm 5660

This theorem is used by:  cycpmrn  33751