Theorem eldmne0 33319

Description: A function of nonempty domain is not empty. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eldmne0	⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐹 → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem eldmne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4290	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐹 → dom 𝐹 ≠ ∅)
2		dmeq 5897	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ∅ → dom 𝐹 = dom ∅)
3		dm0 5914	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝐹 = ∅ → dom 𝐹 = ∅)
5	4	necon3i 2991	. 2 ⊢ (dom 𝐹 ≠ ∅ → 𝐹 ≠ ∅)
6	1, 5	syl 18	1 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐹 → 𝐹 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  dom cdm 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-dm 5668

This theorem is used by:  cycpmrn  33803