Theorem f1rnen 32612

Description: Equinumerosity of the range of an injective function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
f1rnen	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ran 𝐹 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem f1rnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6780	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnima 6673	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ 𝐴) = ran 𝐹)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) = ran 𝐹)
5		ssid 3986	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
6		f1imaeng 9033	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
7	5, 6	mp3an2 1451	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
8	4, 7	eqbrtrrd 5148	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ran 𝐹 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124  ran crn 5660   “ cima 5662   Fn wfn 6531  –1-1→wf1 6533   ≈ cen 8961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8724  df-en 8965

This theorem is referenced by:  fedgmul  33676