Theorem f1rnen 32910

Description: Equinumerosity of the range of an injective function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
f1rnen	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ran 𝐹 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem f1rnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6773	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnima 6663	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ 𝐴) = ran 𝐹)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) = ran 𝐹)
5		ssid 3967	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
6		f1imaeng 9007	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
7	5, 6	mp3an2 1475	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
8	4, 7	eqbrtrrd 5136	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ran 𝐹 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ran crn 5660   “ cima 5662   Fn wfn 6528  –1-1→wf1 6530   ≈ cen 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8690  df-en 8940

This theorem is referenced by:  fedgmul  33962