Theorem f1rnen 32286

Description: Equinumerosity of the range of an injective function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
f1rnen	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ran 𝐹 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem f1rnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6788	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnima 6680	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ 𝐴) = ran 𝐹)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) = ran 𝐹)
5		ssid 4004	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
6		f1imaeng 9016	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
7	5, 6	mp3an2 1448	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
8	4, 7	eqbrtrrd 5172	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ran 𝐹 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ran crn 5677   “ cima 5679   Fn wfn 6538  –1-1→wf1 6540   ≈ cen 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946

This theorem is referenced by:  fedgmul  33170