Theorem f1rnen 32701

Description: Equinumerosity of the range of an injective function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
f1rnen	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ran 𝐹 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem f1rnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6737	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnima 6628	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ 𝐴) = ran 𝐹)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) = ran 𝐹)
5		ssid 3944	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
6		f1imaeng 8961	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
7	5, 6	mp3an2 1452	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
8	4, 7	eqbrtrrd 5109	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ran 𝐹 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ran crn 5632   “ cima 5634   Fn wfn 6493  –1-1→wf1 6495   ≈ cen 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894

This theorem is referenced by:  fedgmul  33775