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Theorem cycpmrn 31129
Description: The range of the word used to build a cycle is the cycle's orbit, i.e., the set of points it moves. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmrn.1 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmrn.2 (𝜑𝐷𝑉)
cycpmrn.3 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
cycpmrn.4 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
cycpmrn.5 (𝜑 → 1 < (♯‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
cycpmrn (𝜑 → ran 𝑊 = dom ((𝑀𝑊) ∖ I ))

Proof of Theorem cycpmrn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmrn.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
21ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
3 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ dom 𝑊)
4 fzo0ss1 13272 . . . . . . . . . . . . 13 (1..^(♯‘𝑊)) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))
5 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
6 cycpmrn.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
7 lencl 14088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
98ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
109nn0zd 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
11 1zzd 12208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
12 fzoaddel2 13298 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
135, 10, 11, 12syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝑊)))
144, 13sseldi 3899 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
156ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
16 wrddm 14076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
1814, 17eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ dom 𝑊)
19 fzossz 13262 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ⊆ ℤ
2019, 5sseldi 3899 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
2120zred 12282 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2221ltp1d 11762 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
2321, 22ltned 10968 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑥 ≠ (𝑥 + 1))
24 f1veqaeq 7069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑊 ∧ (𝑥 + 1) ∈ dom 𝑊)) → ((𝑊𝑥) = (𝑊‘(𝑥 + 1)) → 𝑥 = (𝑥 + 1)))
2524necon3d 2961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ∧ (𝑥 ∈ dom 𝑊 ∧ (𝑥 + 1) ∈ dom 𝑊)) → (𝑥 ≠ (𝑥 + 1) → (𝑊𝑥) ≠ (𝑊‘(𝑥 + 1))))
2625anassrs 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ (𝑥 + 1) ∈ dom 𝑊) → (𝑥 ≠ (𝑥 + 1) → (𝑊𝑥) ≠ (𝑊‘(𝑥 + 1))))
2726imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ (𝑥 + 1) ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑥 ≠ (𝑥 + 1)) → (𝑊𝑥) ≠ (𝑊‘(𝑥 + 1)))
282, 3, 18, 23, 27syl1111anc 840 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑥) ≠ (𝑊‘(𝑥 + 1)))
29 cycpmrn.1 . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
30 cycpmrn.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝑉)
3130ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝐷𝑉)
3229, 31, 15, 2, 5cycpmfv1 31099 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑀𝑊)‘(𝑊𝑥)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
3328, 32neeqtrrd 3015 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑥) ≠ ((𝑀𝑊)‘(𝑊𝑥)))
3433necomd 2996 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑀𝑊)‘(𝑊𝑥)) ≠ (𝑊𝑥))
35 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑦 = (𝑊𝑥))
3635fveq2d 6721 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑀𝑊)‘𝑦) = ((𝑀𝑊)‘(𝑊𝑥)))
3734, 36, 353netr4d 3018 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑀𝑊)‘𝑦) ≠ 𝑦)
381ad4antr 732 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
396ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
40 eldmne0 30682 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ dom 𝑊𝑊 ≠ ∅)
4140ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → 𝑊 ≠ ∅)
42 lennncl 14089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
4339, 41, 42syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
44 lbfzo0 13282 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
4543, 44sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
4639, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4745, 46eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → 0 ∈ dom 𝑊)
4847adantr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → 0 ∈ dom 𝑊)
49 simpllr 776 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑥 ∈ dom 𝑊)
50 0red 10836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
51 cycpmrn.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < (♯‘𝑊))
52 1red 10834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
538nn0red 12151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
5452, 53posdifd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) − 1)))
5551, 54mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((♯‘𝑊) − 1))
5650, 55ltned 10968 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≠ ((♯‘𝑊) − 1))
5756ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → 0 ≠ ((♯‘𝑊) − 1))
58 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1))
5957, 58neeqtrrd 3015 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → 0 ≠ 𝑥)
60 f1veqaeq 7069 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ∧ (0 ∈ dom 𝑊𝑥 ∈ dom 𝑊)) → ((𝑊‘0) = (𝑊𝑥) → 0 = 𝑥))
6160necon3d 2961 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ∧ (0 ∈ dom 𝑊𝑥 ∈ dom 𝑊)) → (0 ≠ 𝑥 → (𝑊‘0) ≠ (𝑊𝑥)))
6261anassrs 471 . . . . . . . . . 10 (((𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ∧ 0 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) → (0 ≠ 𝑥 → (𝑊‘0) ≠ (𝑊𝑥)))
6362imp 410 . . . . . . . . 9 ((((𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 ∧ 0 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 0 ≠ 𝑥) → (𝑊‘0) ≠ (𝑊𝑥))
6438, 48, 49, 59, 63syl1111anc 840 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑊‘0) ≠ (𝑊𝑥))
65 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑦 = (𝑊𝑥))
6665fveq2d 6721 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑀𝑊)‘𝑦) = ((𝑀𝑊)‘(𝑊𝑥)))
6730ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → 𝐷𝑉)
686ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
6943nngt0d 11879 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → 0 < (♯‘𝑊))
7069adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
7129, 67, 68, 38, 70, 58cycpmfv2 31100 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑀𝑊)‘(𝑊𝑥)) = (𝑊‘0))
7266, 71eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑀𝑊)‘𝑦) = (𝑊‘0))
7364, 72, 653netr4d 3018 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) ∧ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑀𝑊)‘𝑦) ≠ 𝑦)
74 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → 𝑥 ∈ dom 𝑊)
7574, 46eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
76 0z 12187 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
77 0p1e1 11952 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
7877fveq2i 6720 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
79 nnuz 12477 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
8078, 79eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(0 + 1)) = ℕ
8143, 80eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
82 fzosplitsnm1 13317 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
8376, 81, 82sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → (0..^(♯‘𝑊)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
8475, 83eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → 𝑥 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
85 elun 4063 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}) ↔ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∨ 𝑥 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)}))
8684, 85sylib 221 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∨ 𝑥 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)}))
87 velsn 4557 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} ↔ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1))
8887orbi2i 913 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∨ 𝑥 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)}) ↔ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∨ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)))
8986, 88sylib 221 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∨ 𝑥 = ((♯‘𝑊) − 1)))
9037, 73, 89mpjaodan 959 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑊) ∧ 𝑦 = (𝑊𝑥)) → ((𝑀𝑊)‘𝑦) ≠ 𝑦)
91 f1fun 6617 . . . . . . . 8 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷 → Fun 𝑊)
92 elrnrexdmb 6909 . . . . . . . 8 (Fun 𝑊 → (𝑦 ∈ ran 𝑊 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝑊 𝑦 = (𝑊𝑥)))
931, 91, 923syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝑊 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝑊 𝑦 = (𝑊𝑥)))
9493biimpa 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) → ∃𝑥 ∈ dom 𝑊 𝑦 = (𝑊𝑥))
9590, 94r19.29a 3208 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) → ((𝑀𝑊)‘𝑦) ≠ 𝑦)
96 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
9729, 30, 6, 1, 96cycpmcl 31102 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝑊) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)))
98 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
9996, 98elsymgbas 18766 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑉 → ((𝑀𝑊) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ↔ (𝑀𝑊):𝐷1-1-onto𝐷))
10030, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀𝑊) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ↔ (𝑀𝑊):𝐷1-1-onto𝐷))
10197, 100mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝑊):𝐷1-1-onto𝐷)
102 f1ofn 6662 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑊):𝐷1-1-onto𝐷 → (𝑀𝑊) Fn 𝐷)
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝑊) Fn 𝐷)
104103adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) → (𝑀𝑊) Fn 𝐷)
105 wrdf 14074 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷)
106 frn 6552 . . . . . . . 8 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐷 → ran 𝑊𝐷)
1076, 105, 1063syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑊𝐷)
108107sselda 3901 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) → 𝑦𝐷)
109 fnelnfp 6992 . . . . . 6 (((𝑀𝑊) Fn 𝐷𝑦𝐷) → (𝑦 ∈ dom ((𝑀𝑊) ∖ I ) ↔ ((𝑀𝑊)‘𝑦) ≠ 𝑦))
110104, 108, 109syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) → (𝑦 ∈ dom ((𝑀𝑊) ∖ I ) ↔ ((𝑀𝑊)‘𝑦) ≠ 𝑦))
11195, 110mpbird 260 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝑊) → 𝑦 ∈ dom ((𝑀𝑊) ∖ I ))
112111ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝑊𝑦 ∈ dom ((𝑀𝑊) ∖ I )))
113112ssrdv 3907 . 2 (𝜑 → ran 𝑊 ⊆ dom ((𝑀𝑊) ∖ I ))
11429, 30, 6, 1tocycfv 31095 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
115114difeq1d 4036 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑊) ∖ I ) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∖ I ))
116115dmeqd 5774 . . 3 (𝜑 → dom ((𝑀𝑊) ∖ I ) = dom ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∖ I ))
117 difundir 4195 . . . . . 6 ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∖ I ) = ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∖ I ) ∪ (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I ))
118 resdifcom 5870 . . . . . . . 8 (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∖ I ) = (( I ∖ I ) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
119 difid 4285 . . . . . . . . 9 ( I ∖ I ) = ∅
120119reseq1i 5847 . . . . . . . 8 (( I ∖ I ) ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = (∅ ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
121 0res 30662 . . . . . . . 8 (∅ ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) = ∅
122118, 120, 1213eqtri 2769 . . . . . . 7 (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∖ I ) = ∅
123122uneq1i 4073 . . . . . 6 ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∖ I ) ∪ (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I )) = (∅ ∪ (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I ))
124 0un 4307 . . . . . 6 (∅ ∪ (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I )) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I )
125117, 123, 1243eqtri 2769 . . . . 5 ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∖ I ) = (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I )
126125dmeqi 5773 . . . 4 dom ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∖ I ) = dom (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I )
127 difss 4046 . . . . . 6 (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I ) ⊆ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)
128 dmss 5771 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I ) ⊆ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) → dom (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I ) ⊆ dom ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))
129127, 128ax-mp 5 . . . . 5 dom (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I ) ⊆ dom ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)
130 dmcoss 5840 . . . . . 6 dom ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ⊆ dom 𝑊
131 df-rn 5562 . . . . . 6 ran 𝑊 = dom 𝑊
132130, 131sseqtrri 3938 . . . . 5 dom ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ⊆ ran 𝑊
133129, 132sstri 3910 . . . 4 dom (((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∖ I ) ⊆ ran 𝑊
134126, 133eqsstri 3935 . . 3 dom ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∖ I ) ⊆ ran 𝑊
135116, 134eqsstrdi 3955 . 2 (𝜑 → dom ((𝑀𝑊) ∖ I ) ⊆ ran 𝑊)
136113, 135eqssd 3918 1 (𝜑 → ran 𝑊 = dom ((𝑀𝑊) ∖ I ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wrex 3062  cdif 3863  cun 3864  wss 3866  c0 4237  {csn 4541   class class class wbr 5053   I cid 5454  ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552  cres 5553  ccom 5555  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  wf 6376  1-1wf1 6377  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867  cmin 11062  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  ..^cfzo 13238  chash 13896  Word cword 14069   cyclShift ccsh 14353  Basecbs 16760  SymGrpcsymg 18759  toCycctocyc 31092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-csh 14354  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-tset 16821  df-efmnd 18296  df-symg 18760  df-tocyc 31093
This theorem is referenced by:  tocyccntz  31130
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