Theorem elneq 9357

Description: A class is not equal to any of its elements. (Contributed by AV, 14-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elneq	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem elneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 9356	. 2 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝐵
2		nelelne 3043	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-reg 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-nul 4257  df-sn 4562  df-pr 4564

This theorem is referenced by:  nelaneq  9358  preleqg  9373  dfac2b  9886