Theorem oenassex 43330

Description: Ordinal two raised to two to the zeroth power is not the same as two squared then raised to the zeroth power. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenassex	⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

Proof of Theorem oenassex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8390	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid2 4714	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8388	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2828	. 2 ⊢ 1o ∈ 2o
5		elneq 9481	. . 3 ⊢ (1o ∈ 2o → 1o ≠ 2o)
6		df-ne 2927	. . . 4 ⊢ (2o ≠ 1o ↔ ¬ 2o = 1o)
7		necom 2979	. . . 4 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ 2o ≠ 1o)
8		2on 8393	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ On
9		oe0 8432	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o ∅) = 1o)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ↑o ∅) = 1o
11	10	oveq2i 7352	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = (2o ↑o 1o)
12		oe1 8454	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o 1o) = 2o)
13	8, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o 1o) = 2o
14	11, 13	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = 2o
15	8, 8	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On ∧ 2o ∈ On)
16		oecl 8447	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → (2o ↑o 2o) ∈ On)
17		oe0 8432	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑o 2o) ∈ On → ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o)
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o
19	14, 18	eqeq12i 2748	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ 2o = 1o)
20	19	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ ¬ 2o = 1o)
21	6, 7, 20	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
22	5, 21	sylib 218	. 2 ⊢ (1o ∈ 2o → ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
23	4, 22	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∅c0 4281  {cpr 4576  Oncon0 6302  (class class class)co 7341  1_oc1o 8373  2_oc2o 8374   ↑_o coe 8379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-reg 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-oexp 8386

This theorem is referenced by:  oenass  43331