Theorem oenassex 44086

Description: Ordinal two raised to two to the zeroth power is not the same as two squared then raised to the zeroth power. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenassex	⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

Proof of Theorem oenassex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oelpr 8473	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
2		df2o3 8470	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
3	1, 2	eleqtrri 2865	. 2 ⊢ 1o ∈ 2o
4		elneq 9573	. . 3 ⊢ (1o ∈ 2o → 1o ≠ 2o)
5		df-ne 2962	. . . 4 ⊢ (2o ≠ 1o ↔ ¬ 2o = 1o)
6		necom 3014	. . . 4 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ 2o ≠ 1o)
7		2on 8476	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ On
8		oe0 8516	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o ∅) = 1o)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ↑o ∅) = 1o
10	9	oveq2i 7434	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = (2o ↑o 1o)
11		oe1 8538	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o 1o) = 2o)
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o 1o) = 2o
13	10, 12	eqtri 2789	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = 2o
14	7, 7	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On ∧ 2o ∈ On)
15		oecl 8531	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → (2o ↑o 2o) ∈ On)
16		oe0 8516	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑o 2o) ∈ On → ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o)
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o
18	13, 17	eqeq12i 2784	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ 2o = 1o)
19	18	notbii 323	. . . 4 ⊢ (¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ ¬ 2o = 1o)
20	5, 6, 19	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
21	4, 20	sylib 221	. 2 ⊢ (1o ∈ 2o → ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
22	3, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∅c0 4289  {cpr 4596  Oncon0 6367  (class class class)co 7423  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456   ↑_o coe 8461

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-reg 9564

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-oexp 8468

This theorem is used by:  oenass  44087