Theorem oenassex 44025

Description: Ordinal two raised to two to the zeroth power is not the same as two squared then raised to the zeroth power. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenassex	⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

Proof of Theorem oenassex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oelpr 8465	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
2		df2o3 8462	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
3	1, 2	eleqtrri 2862	. 2 ⊢ 1o ∈ 2o
4		elneq 9564	. . 3 ⊢ (1o ∈ 2o → 1o ≠ 2o)
5		df-ne 2959	. . . 4 ⊢ (2o ≠ 1o ↔ ¬ 2o = 1o)
6		necom 3011	. . . 4 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ 2o ≠ 1o)
7		2on 8468	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ On
8		oe0 8508	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o ∅) = 1o)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ↑o ∅) = 1o
10	9	oveq2i 7423	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = (2o ↑o 1o)
11		oe1 8530	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o 1o) = 2o)
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o 1o) = 2o
13	10, 12	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = 2o
14	7, 7	pm3.2i 475	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On ∧ 2o ∈ On)
15		oecl 8523	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → (2o ↑o 2o) ∈ On)
16		oe0 8508	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑o 2o) ∈ On → ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o)
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o
18	13, 17	eqeq12i 2781	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ 2o = 1o)
19	18	notbii 323	. . . 4 ⊢ (¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ ¬ 2o = 1o)
20	5, 6, 19	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
21	4, 20	sylib 221	. 2 ⊢ (1o ∈ 2o → ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
22	3, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287  {cpr 4592  Oncon0 6362  (class class class)co 7412  1_oc1o 8447  2_oc2o 8448   ↑_o coe 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-reg 9555

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-oexp 8460

This theorem is referenced by:  oenass  44026