Theorem oenassex 44512

Description: Ordinal two raised to two to the zeroth power is not the same as two squared then raised to the zeroth power. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenassex	⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

Proof of Theorem oenassex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oelpr 8515	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
2		df2o3 8512	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
3	1, 2	eleqtrri 2863	. 2 ⊢ 1o ∈ 2o
4		elneq 9622	. . 3 ⊢ (1o ∈ 2o → 1o ≠ 2o)
5		df-ne 2960	. . . 4 ⊢ (2o ≠ 1o ↔ ¬ 2o = 1o)
6		necom 3012	. . . 4 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ 2o ≠ 1o)
7		2on 8518	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ On
8		oe0 8558	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o ∅) = 1o)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ↑o ∅) = 1o
10	9	oveq2i 7454	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = (2o ↑o 1o)
11		oe1 8580	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o 1o) = 2o)
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o 1o) = 2o
13	10, 12	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = 2o
14	7, 7	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On ∧ 2o ∈ On)
15		oecl 8573	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → (2o ↑o 2o) ∈ On)
16		oe0 8558	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑o 2o) ∈ On → ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o)
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o
18	13, 17	eqeq12i 2781	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ 2o = 1o)
19	18	notbii 323	. . . 4 ⊢ (¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ ¬ 2o = 1o)
20	5, 6, 19	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
21	4, 20	sylib 221	. 2 ⊢ (1o ∈ 2o → ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
22	3, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  {cpr 4590  Oncon0 6380  (class class class)co 7443  1_oc1o 8497  2_oc2o 8498   ↑_o coe 8503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-reg 9613

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-oexp 8510

This theorem is used by:  oenass  44513