Theorem oenassex 43761

Description: Ordinal two raised to two to the zeroth power is not the same as two squared then raised to the zeroth power. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenassex	⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

Proof of Theorem oenassex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8406	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid2 4708	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8404	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2836	. 2 ⊢ 1o ∈ 2o
5		elneq 9506	. . 3 ⊢ (1o ∈ 2o → 1o ≠ 2o)
6		df-ne 2934	. . . 4 ⊢ (2o ≠ 1o ↔ ¬ 2o = 1o)
7		necom 2986	. . . 4 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ 2o ≠ 1o)
8		2on 8409	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ On
9		oe0 8448	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o ∅) = 1o)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ↑o ∅) = 1o
11	10	oveq2i 7369	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = (2o ↑o 1o)
12		oe1 8470	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o 1o) = 2o)
13	8, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o 1o) = 2o
14	11, 13	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = 2o
15	8, 8	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On ∧ 2o ∈ On)
16		oecl 8463	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → (2o ↑o 2o) ∈ On)
17		oe0 8448	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑o 2o) ∈ On → ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o)
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o
19	14, 18	eqeq12i 2755	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ 2o = 1o)
20	19	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ ¬ 2o = 1o)
21	6, 7, 20	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
22	5, 21	sylib 218	. 2 ⊢ (1o ∈ 2o → ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
23	4, 22	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  {cpr 4570  Oncon0 6315  (class class class)co 7358  1_oc1o 8389  2_oc2o 8390   ↑_o coe 8395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-reg 9498

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-oexp 8402

This theorem is referenced by:  oenass  43762