Theorem oenassex 44413

Description: Ordinal two raised to two to the zeroth power is not the same as two squared then raised to the zeroth power. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenassex	⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

Proof of Theorem oenassex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oelpr 8490	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
2		df2o3 8487	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
3	1, 2	eleqtrri 2859	. 2 ⊢ 1o ∈ 2o
4		elneq 9598	. . 3 ⊢ (1o ∈ 2o → 1o ≠ 2o)
5		df-ne 2956	. . . 4 ⊢ (2o ≠ 1o ↔ ¬ 2o = 1o)
6		necom 3008	. . . 4 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ 2o ≠ 1o)
7		2on 8493	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ On
8		oe0 8533	. . . . . . . . 9 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o ∅) = 1o)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ↑o ∅) = 1o
10	9	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = (2o ↑o 1o)
11		oe1 8555	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ On → (2o ↑o 1o) = 2o)
12	7, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2o ↑o 1o) = 2o
13	10, 12	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = 2o
14	7, 7	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On ∧ 2o ∈ On)
15		oecl 8548	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → (2o ↑o 2o) ∈ On)
16		oe0 8533	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑o 2o) ∈ On → ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o)
17	14, 15, 16	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) = 1o
18	13, 17	eqeq12i 2778	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ 2o = 1o)
19	18	notbii 323	. . . 4 ⊢ (¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅) ↔ ¬ 2o = 1o)
20	5, 6, 19	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (1o ≠ 2o ↔ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
21	4, 20	sylib 221	. 2 ⊢ (1o ∈ 2o → ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅))
22	3, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ (2o ↑o (2o ↑o ∅)) = ((2o ↑o 2o) ↑o ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  {cpr 4586  Oncon0 6362  (class class class)co 7420  1_oc1o 8472  2_oc2o 8473   ↑_o coe 8478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9589

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-oexp 8485

This theorem is used by:  oenass  44414