Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oaomoencom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaomoencom 42556
Description: Ordinal addition, multiplication, and exponentiation do not generally commute. Theorem 4.1 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oaomoencom (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž +o ๐‘) = (๐‘ +o ๐‘Ž) โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo ๐‘Ž) โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o ๐‘Ž))
Distinct variable group:   ๐‘Ž,๐‘

Proof of Theorem oaomoencom
StepHypRef Expression
1 oancom 9642 . . . 4 (1o +o ฯ‰) โ‰  (ฯ‰ +o 1o)
21neii 2934 . . 3 ยฌ (1o +o ฯ‰) = (ฯ‰ +o 1o)
3 1on 8473 . . . 4 1o โˆˆ On
4 omelon 9637 . . . . 5 ฯ‰ โˆˆ On
5 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (1o +o ๐‘) = (1o +o ฯ‰))
6 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (๐‘ +o 1o) = (ฯ‰ +o 1o))
75, 6eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ ((1o +o ๐‘) = (๐‘ +o 1o) โ†” (1o +o ฯ‰) = (ฯ‰ +o 1o)))
87notbid 318 . . . . . 6 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (ยฌ (1o +o ๐‘) = (๐‘ +o 1o) โ†” ยฌ (1o +o ฯ‰) = (ฯ‰ +o 1o)))
98rspcev 3604 . . . . 5 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ยฌ (1o +o ฯ‰) = (ฯ‰ +o 1o)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (1o +o ๐‘) = (๐‘ +o 1o))
104, 9mpan 687 . . . 4 (ยฌ (1o +o ฯ‰) = (ฯ‰ +o 1o) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (1o +o ๐‘) = (๐‘ +o 1o))
11 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = 1o โ†’ (๐‘Ž +o ๐‘) = (1o +o ๐‘))
12 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = 1o โ†’ (๐‘ +o ๐‘Ž) = (๐‘ +o 1o))
1311, 12eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (๐‘Ž = 1o โ†’ ((๐‘Ž +o ๐‘) = (๐‘ +o ๐‘Ž) โ†” (1o +o ๐‘) = (๐‘ +o 1o)))
1413notbid 318 . . . . . 6 (๐‘Ž = 1o โ†’ (ยฌ (๐‘Ž +o ๐‘) = (๐‘ +o ๐‘Ž) โ†” ยฌ (1o +o ๐‘) = (๐‘ +o 1o)))
1514rexbidv 3170 . . . . 5 (๐‘Ž = 1o โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž +o ๐‘) = (๐‘ +o ๐‘Ž) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (1o +o ๐‘) = (๐‘ +o 1o)))
1615rspcev 3604 . . . 4 ((1o โˆˆ On โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (1o +o ๐‘) = (๐‘ +o 1o)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž +o ๐‘) = (๐‘ +o ๐‘Ž))
173, 10, 16sylancr 586 . . 3 (ยฌ (1o +o ฯ‰) = (ฯ‰ +o 1o) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž +o ๐‘) = (๐‘ +o ๐‘Ž))
182, 17ax-mp 5 . 2 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž +o ๐‘) = (๐‘ +o ๐‘Ž)
194, 4pm3.2i 470 . . . . . . 7 (ฯ‰ โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On)
20 peano1 7872 . . . . . . 7 โˆ… โˆˆ ฯ‰
2119, 20pm3.2i 470 . . . . . 6 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰)
22 oaord1 8546 . . . . . . 7 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ฯ‰ โ†” ฯ‰ โˆˆ (ฯ‰ +o ฯ‰)))
2322biimpa 476 . . . . . 6 (((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โ†’ ฯ‰ โˆˆ (ฯ‰ +o ฯ‰))
24 elneq 9589 . . . . . 6 (ฯ‰ โˆˆ (ฯ‰ +o ฯ‰) โ†’ ฯ‰ โ‰  (ฯ‰ +o ฯ‰))
2521, 23, 24mp2b 10 . . . . 5 ฯ‰ โ‰  (ฯ‰ +o ฯ‰)
26 2omomeqom 42542 . . . . . 6 (2o ยทo ฯ‰) = ฯ‰
27 df-2o 8462 . . . . . . . 8 2o = suc 1o
2827oveq2i 7412 . . . . . . 7 (ฯ‰ ยทo 2o) = (ฯ‰ ยทo suc 1o)
29 omsuc 8521 . . . . . . . 8 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง 1o โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo suc 1o) = ((ฯ‰ ยทo 1o) +o ฯ‰))
304, 3, 29mp2an 689 . . . . . . 7 (ฯ‰ ยทo suc 1o) = ((ฯ‰ ยทo 1o) +o ฯ‰)
31 om1 8537 . . . . . . . . 9 (ฯ‰ โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ ยทo 1o) = ฯ‰)
324, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ฯ‰ ยทo 1o) = ฯ‰
3332oveq1i 7411 . . . . . . 7 ((ฯ‰ ยทo 1o) +o ฯ‰) = (ฯ‰ +o ฯ‰)
3428, 30, 333eqtri 2756 . . . . . 6 (ฯ‰ ยทo 2o) = (ฯ‰ +o ฯ‰)
3526, 34neeq12i 2999 . . . . 5 ((2o ยทo ฯ‰) โ‰  (ฯ‰ ยทo 2o) โ†” ฯ‰ โ‰  (ฯ‰ +o ฯ‰))
3625, 35mpbir 230 . . . 4 (2o ยทo ฯ‰) โ‰  (ฯ‰ ยทo 2o)
3736neii 2934 . . 3 ยฌ (2o ยทo ฯ‰) = (ฯ‰ ยทo 2o)
38 2on 8475 . . . 4 2o โˆˆ On
39 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (2o ยทo ๐‘) = (2o ยทo ฯ‰))
40 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (๐‘ ยทo 2o) = (ฯ‰ ยทo 2o))
4139, 40eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ ((2o ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo 2o) โ†” (2o ยทo ฯ‰) = (ฯ‰ ยทo 2o)))
4241notbid 318 . . . . . 6 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (ยฌ (2o ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo 2o) โ†” ยฌ (2o ยทo ฯ‰) = (ฯ‰ ยทo 2o)))
4342rspcev 3604 . . . . 5 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ยฌ (2o ยทo ฯ‰) = (ฯ‰ ยทo 2o)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (2o ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo 2o))
444, 43mpan 687 . . . 4 (ยฌ (2o ยทo ฯ‰) = (ฯ‰ ยทo 2o) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (2o ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo 2o))
45 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = 2o โ†’ (๐‘Ž ยทo ๐‘) = (2o ยทo ๐‘))
46 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = 2o โ†’ (๐‘ ยทo ๐‘Ž) = (๐‘ ยทo 2o))
4745, 46eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (๐‘Ž = 2o โ†’ ((๐‘Ž ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo ๐‘Ž) โ†” (2o ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo 2o)))
4847notbid 318 . . . . . 6 (๐‘Ž = 2o โ†’ (ยฌ (๐‘Ž ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo ๐‘Ž) โ†” ยฌ (2o ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo 2o)))
4948rexbidv 3170 . . . . 5 (๐‘Ž = 2o โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo ๐‘Ž) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (2o ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo 2o)))
5049rspcev 3604 . . . 4 ((2o โˆˆ On โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (2o ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo 2o)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo ๐‘Ž))
5138, 44, 50sylancr 586 . . 3 (ยฌ (2o ยทo ฯ‰) = (ฯ‰ ยทo 2o) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo ๐‘Ž))
5237, 51ax-mp 5 . 2 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo ๐‘Ž)
53 1onn 8635 . . . . . . 7 1o โˆˆ ฯ‰
5421, 53pm3.2i 470 . . . . . 6 (((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โˆง 1o โˆˆ ฯ‰)
554, 31mp1i 13 . . . . . . 7 ((((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โˆง 1o โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ ยทo 1o) = ฯ‰)
56 omordi 8561 . . . . . . . 8 (((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โ†’ (1o โˆˆ ฯ‰ โ†’ (ฯ‰ ยทo 1o) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ฯ‰)))
5756imp 406 . . . . . . 7 ((((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โˆง 1o โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ ยทo 1o) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ฯ‰))
5855, 57eqeltrrd 2826 . . . . . 6 ((((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โˆง 1o โˆˆ ฯ‰) โ†’ ฯ‰ โˆˆ (ฯ‰ ยทo ฯ‰))
59 elneq 9589 . . . . . 6 (ฯ‰ โˆˆ (ฯ‰ ยทo ฯ‰) โ†’ ฯ‰ โ‰  (ฯ‰ ยทo ฯ‰))
6054, 58, 59mp2b 10 . . . . 5 ฯ‰ โ‰  (ฯ‰ ยทo ฯ‰)
61 2onn 8637 . . . . . . 7 2o โˆˆ ฯ‰
62 1oex 8471 . . . . . . . . 9 1o โˆˆ V
6362prid2 4759 . . . . . . . 8 1o โˆˆ {โˆ…, 1o}
64 df2o3 8469 . . . . . . . 8 2o = {โˆ…, 1o}
6563, 64eleqtrri 2824 . . . . . . 7 1o โˆˆ 2o
66 nnoeomeqom 42551 . . . . . . 7 ((2o โˆˆ ฯ‰ โˆง 1o โˆˆ 2o) โ†’ (2o โ†‘o ฯ‰) = ฯ‰)
6761, 65, 66mp2an 689 . . . . . 6 (2o โ†‘o ฯ‰) = ฯ‰
6827oveq2i 7412 . . . . . . 7 (ฯ‰ โ†‘o 2o) = (ฯ‰ โ†‘o suc 1o)
69 oesuc 8522 . . . . . . . 8 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง 1o โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ โ†‘o suc 1o) = ((ฯ‰ โ†‘o 1o) ยทo ฯ‰))
704, 3, 69mp2an 689 . . . . . . 7 (ฯ‰ โ†‘o suc 1o) = ((ฯ‰ โ†‘o 1o) ยทo ฯ‰)
71 oe1 8539 . . . . . . . . 9 (ฯ‰ โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โ†‘o 1o) = ฯ‰)
724, 71ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ฯ‰ โ†‘o 1o) = ฯ‰
7372oveq1i 7411 . . . . . . 7 ((ฯ‰ โ†‘o 1o) ยทo ฯ‰) = (ฯ‰ ยทo ฯ‰)
7468, 70, 733eqtri 2756 . . . . . 6 (ฯ‰ โ†‘o 2o) = (ฯ‰ ยทo ฯ‰)
7567, 74neeq12i 2999 . . . . 5 ((2o โ†‘o ฯ‰) โ‰  (ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†” ฯ‰ โ‰  (ฯ‰ ยทo ฯ‰))
7660, 75mpbir 230 . . . 4 (2o โ†‘o ฯ‰) โ‰  (ฯ‰ โ†‘o 2o)
7776neii 2934 . . 3 ยฌ (2o โ†‘o ฯ‰) = (ฯ‰ โ†‘o 2o)
78 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (2o โ†‘o ๐‘) = (2o โ†‘o ฯ‰))
79 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (๐‘ โ†‘o 2o) = (ฯ‰ โ†‘o 2o))
8078, 79eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ ((2o โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o 2o) โ†” (2o โ†‘o ฯ‰) = (ฯ‰ โ†‘o 2o)))
8180notbid 318 . . . . . 6 (๐‘ = ฯ‰ โ†’ (ยฌ (2o โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o 2o) โ†” ยฌ (2o โ†‘o ฯ‰) = (ฯ‰ โ†‘o 2o)))
8281rspcev 3604 . . . . 5 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ยฌ (2o โ†‘o ฯ‰) = (ฯ‰ โ†‘o 2o)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (2o โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o 2o))
834, 82mpan 687 . . . 4 (ยฌ (2o โ†‘o ฯ‰) = (ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (2o โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o 2o))
84 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = 2o โ†’ (๐‘Ž โ†‘o ๐‘) = (2o โ†‘o ๐‘))
85 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = 2o โ†’ (๐‘ โ†‘o ๐‘Ž) = (๐‘ โ†‘o 2o))
8684, 85eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (๐‘Ž = 2o โ†’ ((๐‘Ž โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o ๐‘Ž) โ†” (2o โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o 2o)))
8786notbid 318 . . . . . 6 (๐‘Ž = 2o โ†’ (ยฌ (๐‘Ž โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o ๐‘Ž) โ†” ยฌ (2o โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o 2o)))
8887rexbidv 3170 . . . . 5 (๐‘Ž = 2o โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o ๐‘Ž) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (2o โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o 2o)))
8988rspcev 3604 . . . 4 ((2o โˆˆ On โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (2o โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o 2o)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o ๐‘Ž))
9038, 83, 89sylancr 586 . . 3 (ยฌ (2o โ†‘o ฯ‰) = (ฯ‰ โ†‘o 2o) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o ๐‘Ž))
9177, 90ax-mp 5 . 2 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o ๐‘Ž)
9218, 52, 913pm3.2i 1336 1 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž +o ๐‘) = (๐‘ +o ๐‘Ž) โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž ยทo ๐‘) = (๐‘ ยทo ๐‘Ž) โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On โˆƒ๐‘ โˆˆ On ยฌ (๐‘Ž โ†‘o ๐‘) = (๐‘ โ†‘o ๐‘Ž))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆƒwrex 3062  โˆ…c0 4314  {cpr 4622  Oncon0 6354  suc csuc 6356  (class class class)co 7401  ฯ‰com 7848  1oc1o 8454  2oc2o 8455   +o coa 8458   ยทo comu 8459   โ†‘o coe 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-reg 9583  ax-inf2 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-oexp 8467
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator