Theorem fuco2el 50131

Description: Equivalence of product functor. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fuco2el	⊢ (⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅) ↔ (𝐾𝑆𝐿 ∧ 𝐹𝑅𝐺))

Proof of Theorem fuco2el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5702	. 2 ⊢ (⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅) ↔ (⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ 𝑆 ∧ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ 𝑅))
2		df-br 5115	. . 3 ⊢ (𝐾𝑆𝐿 ↔ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ 𝑆)
3		df-br 5115	. . 3 ⊢ (𝐹𝑅𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ 𝑅)
4	2, 3	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((𝐾𝑆𝐿 ∧ 𝐹𝑅𝐺) ↔ (⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ 𝑆 ∧ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ 𝑅))
5	1, 4	bitr4i 281	1 ⊢ (⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅) ↔ (𝐾𝑆𝐿 ∧ 𝐹𝑅𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   × cxp 5664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672

This theorem is used by:  fuco2eld  50132  fuco2eld3  50134