Theorem fuco2eld 49208

Description: Equivalence of product functor. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco2eld.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑆 × 𝑅))
fuco2eld.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
fuco2eld.k	⊢ (𝜑 → 𝐾𝑆𝐿)
fuco2eld.f	⊢ (𝜑 → 𝐹𝑅𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fuco2eld	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)

Proof of Theorem fuco2eld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuco2eld.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝑆𝐿)
2		fuco2eld.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹𝑅𝐺)
3		fuco2el 49207	. . 3 ⊢ (⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅) ↔ (𝐾𝑆𝐿 ∧ 𝐹𝑅𝐺))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅))
5		fuco2eld.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
6		fuco2eld.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑆 × 𝑅))
7	4, 5, 6	3eltr4d 2844	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4603   class class class wbr 5115   × cxp 5644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-dif 3925  df-un 3927  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-br 5116  df-opab 5178  df-xp 5652

This theorem is referenced by:  fuco11  49221  fuco11cl  49222  fuco21  49231