Theorem fuco2eld 50528

Description: Equivalence of product functor. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco2eld.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑆 × 𝑅))
fuco2eld.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
fuco2eld.k	⊢ (𝜑 → 𝐾𝑆𝐿)
fuco2eld.f	⊢ (𝜑 → 𝐹𝑅𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fuco2eld	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)

Proof of Theorem fuco2eld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuco2eld.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝑆𝐿)
2		fuco2eld.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹𝑅𝐺)
3		fuco2el 50527	. . 3 ⊢ (⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅) ↔ (𝐾𝑆𝐿 ∧ 𝐹𝑅𝐺))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅))
5		fuco2eld.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
6		fuco2eld.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑆 × 𝑅))
7	4, 5, 6	3eltr4d 2875	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   × cxp 5648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656

This theorem is used by:  fuco11  50541  fuco11cl  50542  fuco21  50551