Theorem fuco2eld 50365

Description: Equivalence of product functor. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco2eld.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑆 × 𝑅))
fuco2eld.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
fuco2eld.k	⊢ (𝜑 → 𝐾𝑆𝐿)
fuco2eld.f	⊢ (𝜑 → 𝐹𝑅𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fuco2eld	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)

Proof of Theorem fuco2eld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuco2eld.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝑆𝐿)
2		fuco2eld.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹𝑅𝐺)
3		fuco2el 50364	. . 3 ⊢ (⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅) ↔ (𝐾𝑆𝐿 ∧ 𝐹𝑅𝐺))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅))
5		fuco2eld.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
6		fuco2eld.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑆 × 𝑅))
7	4, 5, 6	3eltr4d 2876	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   × cxp 5649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657

This theorem is used by:  fuco11  50378  fuco11cl  50379  fuco21  50388