Theorem fuco2eld 49788

Description: Equivalence of product functor. (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco2eld.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑆 × 𝑅))
fuco2eld.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
fuco2eld.k	⊢ (𝜑 → 𝐾𝑆𝐿)
fuco2eld.f	⊢ (𝜑 → 𝐹𝑅𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fuco2eld	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)

Proof of Theorem fuco2eld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuco2eld.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝑆𝐿)
2		fuco2eld.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹𝑅𝐺)
3		fuco2el 49787	. . 3 ⊢ (⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅) ↔ (𝐾𝑆𝐿 ∧ 𝐹𝑅𝐺))
4	1, 2, 3	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩ ∈ (𝑆 × 𝑅))
5		fuco2eld.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
6		fuco2eld.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑆 × 𝑅))
7	4, 5, 6	3eltr4d 2851	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085   × cxp 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637

This theorem is referenced by:  fuco11  49801  fuco11cl  49802  fuco21  49811