Theorem hbexgVD 45826

Description: Virtual deduction proof of hbexg 45477. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. hbexg 45477 is hbexgVD 45826 without virtual deductions and was automatically derived from hbexgVD 45826. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥 ∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
2:1:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑦 ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
3:2:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥 (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
4:3:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥 (¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
5::	⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ↔ ∀𝑦 ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
6::	⊢ (∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑦 ∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
7:5:	⊢ (∀𝑦∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ↔ ∀𝑦∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
8:5,6,7:	⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑦 ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
9:8,4:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑦 ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
10:9:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥 ∀𝑦(¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
11:10:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑦 (¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ 𝜑)   )
12:11:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑦 (∀𝑦¬ 𝜑 → ∀𝑥∀𝑦¬ 𝜑)   )
13:12:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   (∀ 𝑦¬ 𝜑 → ∀𝑥∀𝑦¬ 𝜑)   )
14::	⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥 ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
15:13,14:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥 (∀𝑦¬ 𝜑 → ∀𝑥∀𝑦¬ 𝜑)   )
16:15:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥 (¬ ∀𝑦¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ ∀𝑦¬ 𝜑)   )
17:16:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   (¬ ∀𝑦¬ 𝜑 → ∀𝑥¬ ∀𝑦¬ 𝜑)   )
18::	⊢ (∃𝑦𝜑 ↔ ¬ ∀𝑦¬ 𝜑)
19:17,18:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   (∃ 𝑦𝜑 → ∀𝑥¬ ∀𝑦¬ 𝜑)   )
20:18:	⊢ (∀𝑥∃𝑦𝜑 ↔ ∀𝑥¬ ∀𝑦¬ 𝜑)
21:19,20:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   (∃ 𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑)   )
22:8,21:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑦 (∃𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑)   )
23:14,22:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥 ∀𝑦(∃𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑)   )
qed:23:	⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥 ∀𝑦(∃𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑)   )

Assertion

Ref	Expression
hbexgVD	⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑦(∃𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑))

Proof of Theorem hbexgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hba1 2326	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
2		hba1 2326	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑦∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
3		alcom 2196	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ↔ ∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
4	3	albii 1852	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) ↔ ∀𝑦∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
5	2, 3, 4	3imtr4i 295	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑦∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
6		idn1 45495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
7		ax-11 2194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
8	6, 7	e1a 45548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
9		sp 2219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
10	8, 9	e1a 45548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
11		hbntal 45474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
12	10, 11	e1a 45548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
13	5, 12	gen11nv 45538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑦∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
14		ax-11 2194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦∀𝑥(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → ∀𝑥∀𝑦(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
15	13, 14	e1a 45548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥∀𝑦(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
16		sp 2219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → ∀𝑦(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑))
17	15, 16	e1a 45548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑦(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑)   )
18		hbalg 45476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦(¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ 𝜑) → ∀𝑦(∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑))
19	17, 18	e1a 45548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑦(∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑)   )
20		sp 2219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦(∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑) → (∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑))
21	19, 20	e1a 45548	. . . . . . . . 9 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   (∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑)   )
22	1, 21	gen11nv 45538	. . . . . . . 8 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥(∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑)   )
23		hbntal 45474	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥∀𝑦 ¬ 𝜑) → ∀𝑥(¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑))
24	22, 23	e1a 45548	. . . . . . 7 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥(¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑)   )
25		sp 2219	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑) → (¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑))
26	24, 25	e1a 45548	. . . . . 6 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   (¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑)   )
27		df-ex 1813	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦𝜑 ↔ ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑)
28		imbi1 350	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦𝜑 ↔ ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑) → ((∃𝑦𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑) ↔ (¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑)))
29	28	biimprcd 253	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑) → ((∃𝑦𝜑 ↔ ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑) → (∃𝑦𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑)))
30	26, 27, 29	e10 45615	. . . . 5 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   (∃𝑦𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑)   )
31	27	albii 1852	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∃𝑦𝜑 ↔ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑)
32		imbi2 351	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∃𝑦𝜑 ↔ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑) → ((∃𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑) ↔ (∃𝑦𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑)))
33	32	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑦𝜑 → ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑) → ((∀𝑥∃𝑦𝜑 ↔ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜑) → (∃𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑)))
34	30, 31, 33	e10 45615	. . . 4 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   (∃𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑)   )
35	5, 34	gen11nv 45538	. . 3 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑦(∃𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑)   )
36	1, 35	gen11nv 45538	. 2 ⊢ (   ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ∀𝑥∀𝑦(∃𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑)   )
37	36	in1 45492	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑦(∃𝑦𝜑 → ∀𝑥∃𝑦𝜑))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1568  ∃wex 1812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-or 862  df-ex 1813  df-nf 1817  df-vd1 45491

This theorem is used by: (None)