Theorem iunssdf 45975

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunssdf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iunssdf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
iunssdf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
iunssdf	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem iunssdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunssdf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		iunssdf.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3	1, 2	ralrimia 3263	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		iunssdf.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
5	4	iunssf 5005	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
6	3, 5	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902  ∪ ciun 4954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-v 3455  df-ss 3919  df-iun 4956

This theorem is used by:  fsupdm  47657  finfdm  47661