Theorem int-rightdistd 44138

Description: AdditionMultiplicationRightDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-rightdistd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-rightdistd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-rightdistd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-rightdistd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-rightdistd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))

Proof of Theorem int-rightdistd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-rightdistd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11272	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-rightdistd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		int-rightdistd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
7	4, 6	addcld 11263	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
8	2, 7	mulcomd 11265	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵))
9	4, 2	mulcomd 11265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
10		int-rightdistd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
11	10	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
12	11	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
13	9, 12	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶))
14	6, 2	mulcomd 11265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
15	11	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷))
16	14, 15	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐷))
17	13, 16	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
18	4, 2, 6, 17	joinlmuladdmuld 11271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
19	8, 18	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7414  ℝcr 11137   + caddc 11141   · cmul 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-resscn 11195  ax-addcl 11198  ax-mulcom 11202  ax-distr 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3936  df-un 3938  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-iota 6495  df-fv 6550  df-ov 7417

This theorem is referenced by: (None)