![]() |
Mathbox for Stanislas Polu |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > int-rightdistd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: AdditionMultiplicationRightDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
int-rightdistd.1 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
int-rightdistd.2 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
int-rightdistd.3 | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
int-rightdistd.4 | โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
int-rightdistd | โข (๐ โ (๐ต ยท (๐ถ + ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | int-rightdistd.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
2 | 1 | recnd 11191 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
3 | int-rightdistd.2 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | 3 | recnd 11191 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
5 | int-rightdistd.3 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
6 | 5 | recnd 11191 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
7 | 4, 6 | addcld 11182 | . . 3 โข (๐ โ (๐ถ + ๐ท) โ โ) |
8 | 2, 7 | mulcomd 11184 | . 2 โข (๐ โ (๐ต ยท (๐ถ + ๐ท)) = ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต)) |
9 | 4, 2 | mulcomd 11184 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ถ)) |
10 | int-rightdistd.4 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) | |
11 | 10 | eqcomd 2739 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต = ๐ด) |
12 | 11 | oveq1d 7376 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ)) |
13 | 9, 12 | eqtrd 2773 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ถ)) |
14 | 6, 2 | mulcomd 11184 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ท)) |
15 | 11 | oveq1d 7376 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ท) = (๐ด ยท ๐ท)) |
16 | 14, 15 | eqtrd 2773 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ท)) |
17 | 13, 16 | oveq12d 7379 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท))) |
18 | 4, 2, 6, 17 | joinlmuladdmuld 11190 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท))) |
19 | 8, 18 | eqtrd 2773 | 1 โข (๐ โ (๐ต ยท (๐ถ + ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7361 โcr 11058 + caddc 11062 ยท cmul 11064 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-ext 2704 ax-resscn 11116 ax-addcl 11119 ax-mulcom 11123 ax-distr 11126 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-sb 2069 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-rab 3407 df-v 3449 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-iota 6452 df-fv 6508 df-ov 7364 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |