![]() |
Mathbox for Stanislas Polu |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > int-rightdistd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: AdditionMultiplicationRightDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
int-rightdistd.1 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
int-rightdistd.2 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
int-rightdistd.3 | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
int-rightdistd.4 | โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
int-rightdistd | โข (๐ โ (๐ต ยท (๐ถ + ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | int-rightdistd.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
2 | 1 | recnd 11264 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
3 | int-rightdistd.2 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | 3 | recnd 11264 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
5 | int-rightdistd.3 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
6 | 5 | recnd 11264 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
7 | 4, 6 | addcld 11255 | . . 3 โข (๐ โ (๐ถ + ๐ท) โ โ) |
8 | 2, 7 | mulcomd 11257 | . 2 โข (๐ โ (๐ต ยท (๐ถ + ๐ท)) = ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต)) |
9 | 4, 2 | mulcomd 11257 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ถ)) |
10 | int-rightdistd.4 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) | |
11 | 10 | eqcomd 2733 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต = ๐ด) |
12 | 11 | oveq1d 7429 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ)) |
13 | 9, 12 | eqtrd 2767 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ถ)) |
14 | 6, 2 | mulcomd 11257 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ท)) |
15 | 11 | oveq1d 7429 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ท) = (๐ด ยท ๐ท)) |
16 | 14, 15 | eqtrd 2767 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ท)) |
17 | 13, 16 | oveq12d 7432 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท))) |
18 | 4, 2, 6, 17 | joinlmuladdmuld 11263 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท))) |
19 | 8, 18 | eqtrd 2767 | 1 โข (๐ โ (๐ต ยท (๐ถ + ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 (class class class)co 7414 โcr 11129 + caddc 11133 ยท cmul 11135 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-ext 2698 ax-resscn 11187 ax-addcl 11190 ax-mulcom 11194 ax-distr 11197 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-sb 2061 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-rab 3428 df-v 3471 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-nul 4319 df-if 4525 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5143 df-iota 6494 df-fv 6550 df-ov 7417 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |