Theorem int-rightdistd 45372

Description: AdditionMultiplicationRightDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-rightdistd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-rightdistd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-rightdistd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-rightdistd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-rightdistd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))

Proof of Theorem int-rightdistd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-rightdistd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11364	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-rightdistd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		int-rightdistd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
7	4, 6	addcld 11355	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
8	2, 7	mulcomd 11357	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵))
9	4, 2	mulcomd 11357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
10		int-rightdistd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
11	10	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
12	11	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
13	9, 12	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶))
14	6, 2	mulcomd 11357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
15	11	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷))
16	14, 15	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐷))
17	13, 16	oveq12d 7461	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
18	4, 2, 6, 17	joinlmuladdmuld 11363	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
19	8, 18	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℝcr 11226   + caddc 11230   · cmul 11232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-resscn 11284  ax-addcl 11287  ax-mulcom 11291  ax-distr 11294

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6512  df-fv 6566  df-ov 7446

This theorem is used by: (None)