Theorem int-rightdistd 44694

Description: AdditionMultiplicationRightDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-rightdistd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-rightdistd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-rightdistd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-rightdistd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-rightdistd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))

Proof of Theorem int-rightdistd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-rightdistd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11196	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-rightdistd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		int-rightdistd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
7	4, 6	addcld 11187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
8	2, 7	mulcomd 11189	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵))
9	4, 2	mulcomd 11189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
10		int-rightdistd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
11	10	eqcomd 2758	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
12	11	oveq1d 7396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
13	9, 12	eqtrd 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶))
14	6, 2	mulcomd 11189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
15	11	oveq1d 7396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷))
16	14, 15	eqtrd 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐷))
17	13, 16	oveq12d 7399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
18	4, 2, 6, 17	joinlmuladdmuld 11195	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
19	8, 18	eqtrd 2787	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  ℝcr 11058   + caddc 11062   · cmul 11064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-ext 2724  ax-resscn 11116  ax-addcl 11119  ax-mulcom 11123  ax-distr 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-sb 2081  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-rab 3405  df-v 3446  df-dif 3898  df-un 3900  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-iota 6462  df-fv 6514  df-ov 7384

This theorem is referenced by: (None)