Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  int-rightdistd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem int-rightdistd 43533
Description: AdditionMultiplicationRightDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
int-rightdistd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
int-rightdistd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
int-rightdistd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
int-rightdistd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
Assertion
Ref Expression
int-rightdistd (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ + ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)))

Proof of Theorem int-rightdistd
StepHypRef Expression
1 int-rightdistd.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21recnd 11264 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 int-rightdistd.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
43recnd 11264 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 int-rightdistd.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
65recnd 11264 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
74, 6addcld 11255 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„‚)
82, 7mulcomd 11257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ + ๐ท)) = ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต))
94, 2mulcomd 11257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ถ))
10 int-rightdistd.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
1110eqcomd 2733 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ๐ด)
1211oveq1d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ด ยท ๐ถ))
139, 12eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ถ))
146, 2mulcomd 11257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ท))
1511oveq1d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ท) = (๐ด ยท ๐ท))
1614, 15eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ท))
1713, 16oveq12d 7432 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)))
184, 2, 6, 17joinlmuladdmuld 11263 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)))
198, 18eqtrd 2767 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ + ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ด ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414  โ„cr 11129   + caddc 11133   ยท cmul 11135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2698  ax-resscn 11187  ax-addcl 11190  ax-mulcom 11194  ax-distr 11197
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7417
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator