Theorem int-rightdistd 44170

Description: AdditionMultiplicationRightDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-rightdistd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-rightdistd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-rightdistd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-rightdistd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-rightdistd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))

Proof of Theorem int-rightdistd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-rightdistd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11287	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		int-rightdistd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		int-rightdistd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
7	4, 6	addcld 11278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
8	2, 7	mulcomd 11280	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵))
9	4, 2	mulcomd 11280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
10		int-rightdistd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
11	10	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
12	11	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
13	9, 12	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶))
14	6, 2	mulcomd 11280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
15	11	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷))
16	14, 15	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐷))
17	13, 16	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
18	4, 2, 6, 17	joinlmuladdmuld 11286	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
19	8, 18	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-resscn 11210  ax-addcl 11213  ax-mulcom 11217  ax-distr 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434

This theorem is referenced by: (None)