Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  int-leftdistd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem int-leftdistd 43522
Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
int-leftdistd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
int-leftdistd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
int-leftdistd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
int-leftdistd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
Assertion
Ref Expression
int-leftdistd (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด)))

Proof of Theorem int-leftdistd
StepHypRef Expression
1 int-leftdistd.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
21recnd 11258 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 int-leftdistd.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
43recnd 11258 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5 int-leftdistd.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
65recnd 11258 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
72, 4, 6adddird 11255 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)))
82, 6mulcld 11250 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
94, 6mulcld 11250 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
108, 9addcomd 11432 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)))
119, 8addcomd 11432 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)))
12 int-leftdistd.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
1312eqcomd 2733 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ๐ด)
1413oveq2d 7430 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ด))
1513oveq2d 7430 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ท ยท ๐ด))
1614, 15oveq12d 7432 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด)))
1711, 16eqtrd 2767 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด)))
187, 10, 173eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414  โ„cr 11123   + caddc 11127   ยท cmul 11129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-ltxr 11269
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator