Theorem int-leftdistd 41743

Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-leftdistd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-leftdistd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-leftdistd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-leftdistd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-leftdistd	⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Proof of Theorem int-leftdistd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-leftdistd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10987	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		int-leftdistd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
4	3	recnd 10987	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		int-leftdistd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 10987	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	2, 4, 6	adddird 10984	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
8	2, 6	mulcld 10979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 6	mulcld 10979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
10	8, 9	addcomd 11160	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
11	9, 8	addcomd 11160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
12		int-leftdistd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
13	12	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
14	13	oveq2d 7284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
15	13	oveq2d 7284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐷 · 𝐴))
16	14, 15	oveq12d 7286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
17	11, 16	eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
18	7, 10, 17	3eqtrd 2783	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℝcr 10854   + caddc 10858   · cmul 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998

This theorem is referenced by: (None)