Theorem int-leftdistd 44760

Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-leftdistd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-leftdistd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-leftdistd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-leftdistd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-leftdistd	⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Proof of Theorem int-leftdistd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-leftdistd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		int-leftdistd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		int-leftdistd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	2, 4, 6	adddird 11218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
8	2, 6	mulcld 11213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 6	mulcld 11213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
10	8, 9	addcomd 11396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
11	9, 8	addcomd 11396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
12		int-leftdistd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
13	12	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
14	13	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
15	13	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐷 · 𝐴))
16	14, 15	oveq12d 7414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
17	11, 16	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
18	7, 10, 17	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7396  ℝcr 11083   + caddc 11087   · cmul 11089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-ltxr 11232

This theorem is referenced by: (None)