![]() |
Mathbox for Stanislas Polu |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > int-leftdistd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
int-leftdistd.1 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
int-leftdistd.2 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
int-leftdistd.3 | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
int-leftdistd.4 | โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
int-leftdistd | โข (๐ โ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | int-leftdistd.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
2 | 1 | recnd 11267 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
3 | int-leftdistd.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
4 | 3 | recnd 11267 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
5 | int-leftdistd.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
6 | 5 | recnd 11267 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
7 | 2, 4, 6 | adddird 11264 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต))) |
8 | 2, 6 | mulcld 11259 | . . 3 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
9 | 4, 6 | mulcld 11259 | . . 3 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) โ โ) |
10 | 8, 9 | addcomd 11441 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต))) |
11 | 9, 8 | addcomd 11441 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต))) |
12 | int-leftdistd.4 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) | |
13 | 12 | eqcomd 2731 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต = ๐ด) |
14 | 13 | oveq2d 7429 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
15 | 13 | oveq2d 7429 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ท ยท ๐ด)) |
16 | 14, 15 | oveq12d 7431 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด))) |
17 | 11, 16 | eqtrd 2765 | . 2 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด))) |
18 | 7, 10, 17 | 3eqtrd 2769 | 1 โข (๐ โ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7413 โcr 11132 + caddc 11136 ยท cmul 11138 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-id 5571 df-po 5585 df-so 5586 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7416 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-ltxr 11278 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |