Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  int-leftdistd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem int-leftdistd 42432
Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
int-leftdistd.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
int-leftdistd.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
int-leftdistd.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
int-leftdistd.4 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
int-leftdistd (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Proof of Theorem int-leftdistd
StepHypRef Expression
1 int-leftdistd.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
21recnd 11180 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 int-leftdistd.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
43recnd 11180 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 int-leftdistd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65recnd 11180 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
72, 4, 6adddird 11177 . 2 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
82, 6mulcld 11172 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
94, 6mulcld 11172 . . 3 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
108, 9addcomd 11354 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
119, 8addcomd 11354 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
12 int-leftdistd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = 𝐵)
1312eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐴)
1413oveq2d 7370 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
1513oveq2d 7370 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐷 · 𝐴))
1614, 15oveq12d 7372 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
1711, 16eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
187, 10, 173eqtrd 2780 1 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7354  cr 11047   + caddc 11051   · cmul 11053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7357  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator