![]() |
Mathbox for Stanislas Polu |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > int-leftdistd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
int-leftdistd.1 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
int-leftdistd.2 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
int-leftdistd.3 | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
int-leftdistd.4 | โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
int-leftdistd | โข (๐ โ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | int-leftdistd.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
2 | 1 | recnd 11258 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
3 | int-leftdistd.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
4 | 3 | recnd 11258 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
5 | int-leftdistd.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
6 | 5 | recnd 11258 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
7 | 2, 4, 6 | adddird 11255 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต))) |
8 | 2, 6 | mulcld 11250 | . . 3 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
9 | 4, 6 | mulcld 11250 | . . 3 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) โ โ) |
10 | 8, 9 | addcomd 11432 | . 2 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต))) |
11 | 9, 8 | addcomd 11432 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต))) |
12 | int-leftdistd.4 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) | |
13 | 12 | eqcomd 2733 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต = ๐ด) |
14 | 13 | oveq2d 7430 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
15 | 13 | oveq2d 7430 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ท ยท ๐ด)) |
16 | 14, 15 | oveq12d 7432 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด))) |
17 | 11, 16 | eqtrd 2767 | . 2 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด))) |
18 | 7, 10, 17 | 3eqtrd 2771 | 1 โข (๐ โ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 (class class class)co 7414 โcr 11123 + caddc 11127 ยท cmul 11129 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-id 5570 df-po 5584 df-so 5585 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-ov 7417 df-er 8716 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-ltxr 11269 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |