Theorem int-leftdistd 45123

Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-leftdistd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-leftdistd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-leftdistd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-leftdistd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-leftdistd	⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Proof of Theorem int-leftdistd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-leftdistd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11308	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		int-leftdistd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11308	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		int-leftdistd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11308	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	2, 4, 6	adddird 11305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
8	2, 6	mulcld 11300	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 6	mulcld 11300	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
10	8, 9	addcomd 11483	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
11	9, 8	addcomd 11483	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
12		int-leftdistd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
13	12	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
14	13	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
15	13	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐷 · 𝐴))
16	14, 15	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
17	11, 16	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
18	7, 10, 17	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408  ℝcr 11170   + caddc 11174   · cmul 11176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-ltxr 11319

This theorem is used by: (None)