Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  int-leftdistd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem int-leftdistd 43670
Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
int-leftdistd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
int-leftdistd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
int-leftdistd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
int-leftdistd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
Assertion
Ref Expression
int-leftdistd (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด)))

Proof of Theorem int-leftdistd
StepHypRef Expression
1 int-leftdistd.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
21recnd 11267 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 int-leftdistd.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
43recnd 11267 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5 int-leftdistd.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
65recnd 11267 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
72, 4, 6adddird 11264 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)))
82, 6mulcld 11259 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
94, 6mulcld 11259 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
108, 9addcomd 11441 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)))
119, 8addcomd 11441 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)))
12 int-leftdistd.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
1312eqcomd 2731 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ๐ด)
1413oveq2d 7429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ถ ยท ๐ด))
1513oveq2d 7429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ท ยท ๐ด))
1614, 15oveq12d 7431 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด)))
1711, 16eqtrd 2765 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด)))
187, 10, 173eqtrd 2769 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท) ยท ๐ต) = ((๐ถ ยท ๐ด) + (๐ท ยท ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7413  โ„cr 11132   + caddc 11136   ยท cmul 11138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-ltxr 11278
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator