Theorem int-leftdistd 44456

Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-leftdistd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-leftdistd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-leftdistd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-leftdistd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-leftdistd	⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Proof of Theorem int-leftdistd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-leftdistd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11164	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		int-leftdistd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11164	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		int-leftdistd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11164	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	2, 4, 6	adddird 11161	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
8	2, 6	mulcld 11156	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 6	mulcld 11156	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
10	8, 9	addcomd 11339	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
11	9, 8	addcomd 11339	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
12		int-leftdistd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
13	12	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
14	13	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
15	13	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐷 · 𝐴))
16	14, 15	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
17	11, 16	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
18	7, 10, 17	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℝcr 11029   + caddc 11033   · cmul 11035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by: (None)