Theorem int-leftdistd 44191

Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-leftdistd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-leftdistd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-leftdistd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-leftdistd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-leftdistd	⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Proof of Theorem int-leftdistd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-leftdistd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		int-leftdistd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		int-leftdistd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	2, 4, 6	adddird 11129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
8	2, 6	mulcld 11124	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 6	mulcld 11124	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
10	8, 9	addcomd 11307	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
11	9, 8	addcomd 11307	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
12		int-leftdistd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
13	12	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
14	13	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
15	13	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐷 · 𝐴))
16	14, 15	oveq12d 7359	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
17	11, 16	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
18	7, 10, 17	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7341  ℝcr 10997   + caddc 11001   · cmul 11003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143

This theorem is referenced by: (None)