MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joinlmuladdmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem joinlmuladdmuld 11263
Description: Join AB+CB into (A+C) on LHS. (Contributed by David A. Wheeler, 26-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
joinlmuladdmuld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
joinlmuladdmuld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
joinlmuladdmuld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
joinlmuladdmuld.4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ๐ท)
Assertion
Ref Expression
joinlmuladdmuld (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ถ) ยท ๐ต) = ๐ท)

Proof of Theorem joinlmuladdmuld
StepHypRef Expression
1 joinlmuladdmuld.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 joinlmuladdmuld.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 joinlmuladdmuld.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3adddird 11261 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ถ) ยท ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)))
5 joinlmuladdmuld.4 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ถ ยท ๐ต)) = ๐ท)
64, 5eqtrd 2767 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ถ) ยท ๐ต) = ๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128   + caddc 11133   ยท cmul 11135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2698  ax-addcl 11190  ax-mulcom 11194  ax-distr 11197
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7417
This theorem is referenced by:  1p1times  11407  div4p1lem1div2  12489  ltdifltdiv  13823  discr1  14225  arisum  15830  bezoutlem3  16508  bezoutlem4  16509  mbfi1fseqlem4  25635  itgmulc2  25750  tangtx  26427  binom4  26769  axcontlem8  28769  int-rightdistd  43533  fmtnorec2lem  46805  joinlmuladdmuli  48129
  Copyright terms: Public domain W3C validator