Theorem lmodvsassd 43857

Description: In a module, scalar multiplication is a semigroup action. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsassd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsassd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsassd.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsassd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsassd.t	⊢ × = (.r‘𝐹)
lmodvsassd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodvsassd.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐾)
lmodvsassd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
lmodvsassd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsassd	⊢ (𝜑 → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsassd.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvsassd.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐾)
3		lmodvsassd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		lmodvsassd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lmodvsassd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lmodvsassd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		lmodvsassd.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		lmodvsassd.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9		lmodvsassd.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝐹)
10	5, 6, 7, 8, 9	lmodvsass 21213	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl13anc 1400	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  LModclmod 21186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5266

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-iota 6520  df-fv 6574  df-ov 7454  df-lmod 21188

This theorem is used by:  prjspertr  43899  prjspnnorm  43927