Theorem prjspnnorm 43641

Description: In a free module, two nonzero vectors are equivalent iff they have the same normalized representative. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnnorm.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnnorm.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
prjspnnorm.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘(𝑣‘(𝐽‘𝑣))) · 𝑣))
prjspnnorm.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnnorm.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnnorm.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnnorm.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspnnorm.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnnorm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnnorm.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnnorm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prjspnnorm.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prjspnnorm	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦   𝐼,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   𝑖,𝐽,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑖,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑖   𝑆,𝑙   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑖,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   𝑆,𝑖   𝑌,𝑏,𝑙,𝑖,𝑣,𝑥,𝑦   · ,𝑏,𝑖   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑏, 𝑙)   𝐵(𝑖, 𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑏)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏, 𝑙)   𝐼(𝑖, 𝑏)   𝐽(𝑏)   𝐾(𝑣, 𝑙)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑙)   𝑊(𝑣, 𝑖, 𝑏)

Proof of Theorem prjspnnorm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnnorm.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2		prjspnnorm.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
3		prjspnnorm.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
4		ovexd 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
5		prjspnnorm.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6	5	frlmsca 22052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
7	3, 4, 6	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
8	7	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	2, 8	eqtrid 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	9	rexeqdv 3321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦)))
11	10	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
12	11	opabbidv 5171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
13	1, 12	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
14	13	breqd 5114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑌))
15	5	frlmlvec 22060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
16	3, 4, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
17		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
18		prjspnnorm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
19		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20		prjspnnorm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
22		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23	17, 18, 19, 20, 21, 22	prjspreln0 43617	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
24	16, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
25	14, 24	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
26	25	simplbda 505	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → ∃𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
27		eldifsn 4748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑚 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
28	9	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = 𝑆)
29	28	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑚 ∈ 𝑆))
30	7	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = 𝐾)
31	30	fveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘𝐾))
32	31	neeq2d 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾)))
33	29, 32	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑚 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))))
34	27, 33	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))))
35		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
36		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
37	16	lveclmodd 21375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑊 ∈ LMod)
39		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
40		prjspnnorm.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
41	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝐾 ∈ DivRing)
42		prjspnnorm.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
43	3	drngringd 20981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝐾 ∈ Ring)
45		prjspnnorm.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑚 ∈ 𝑆)
48		difss 4083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ (Base‘𝑊)
49	18, 48	eqsstri 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)
50		prjspnnorm.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
51	49, 50	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
53	5, 35, 2, 20, 44, 47, 52	frlmvscl 43546	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑚 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
54		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))
55	7	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
56	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
57	54, 56	neeqtrd 3025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑚 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
58	50, 18	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
59	58	eldifsnbd 4749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))
60	59	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))
61		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
62	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑊 ∈ LVec)
63	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
64	47, 63	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
65	35, 20, 19, 21, 22, 61, 62, 64, 52	lvecvsn0 21380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊) ↔ (𝑚 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))))
66	57, 60, 65	mpbir2and 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑚 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊))
67	53, 66	eldifsnd 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑚 · 𝑌) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
68	67, 18	eleqtrrdi 2872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑚 · 𝑌) ∈ 𝐵)
69	42, 5, 18, 44, 46, 68, 2	frlmnzcoordcl2 43636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))) ∈ 𝑆)
70	42, 5, 18, 44, 46, 68	frlmnzcoordn0 43637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))) ≠ (0g‘𝐾))
71	2, 39, 40, 41, 69, 70	drnginvrcld 21006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) ∈ 𝑆)
72	71, 63	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
73	35, 19, 20, 21, 36, 38, 72, 64, 52	lmodvsassd 43571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) · (𝑚 · 𝑌)))
74	30	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘𝐾))
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘𝐾))
76	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
77	42, 5, 18, 20, 39, 2, 41, 46, 76, 47, 54	frlmnzcoordsca 43638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐽‘(𝑚 · 𝑌)) = (𝐽‘𝑌))
78	77	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))) = ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘𝑌)))
79		ovexd 7453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (0...𝑁) ∈ V)
80	42, 5, 18, 43, 45, 50	frlmnzcoordcl 43635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑌) ∈ (0...𝑁))
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐽‘𝑌) ∈ (0...𝑁))
82		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
83	5, 35, 2, 79, 47, 52, 81, 20, 82	frlmvscaval 22067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘𝑌)) = (𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘(𝐽‘𝑌))))
84	78, 83	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))) = (𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘(𝐽‘𝑌))))
85	84	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) = (𝐼‘(𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))))
86	42, 5, 18, 43, 45, 50, 2	frlmnzcoordcl2 43636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘(𝐽‘𝑌)) ∈ 𝑆)
87	86	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑌‘(𝐽‘𝑌)) ∈ 𝑆)
88	42, 5, 18, 43, 45, 50	frlmnzcoordn0 43637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘(𝐽‘𝑌)) ≠ (0g‘𝐾))
89	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑌‘(𝐽‘𝑌)) ≠ (0g‘𝐾))
90	2, 39, 82, 40, 41, 47, 87, 54, 89	drnginvmuld 43568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘(𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)))
91	85, 90	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)))
92		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑚 = 𝑚)
93	75, 91, 92	oveq123d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) = (((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘𝐾)𝑚))
94	2, 39, 40, 3, 86, 88	drnginvrcld 21006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) ∈ 𝑆)
95	94	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) ∈ 𝑆)
96	2, 39, 40, 41, 47, 54	drnginvrcld 21006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘𝑚) ∈ 𝑆)
97	2, 82, 44, 95, 96, 47	ringassd 20478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘𝐾)𝑚) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)))
98		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
99	2, 39, 82, 98, 40, 41, 47, 54	drnginvrld 21009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚) = (1r‘𝐾))
100	99	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)))
101	2, 82, 98, 44, 95	ringridmd 20495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))))
102	100, 101	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)) = (𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))))
103	93, 97, 102	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) = (𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))))
104	103	oveq1d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) · 𝑌))
105	73, 104	eqtr3d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) · 𝑌))
106		prjspnnorm.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘(𝑣‘(𝐽‘𝑣))) · 𝑣))
107	106, 68	prjspnnormval 43639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐹‘(𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) · (𝑚 · 𝑌)))
108	106, 50	prjspnnormval 43639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) · 𝑌))
109	108	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐹‘𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) · 𝑌))
110	105, 107, 109	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐹‘(𝑚 · 𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
111	34, 110	sylbida 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐹‘(𝑚 · 𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
112		fveqeq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(𝑚 · 𝑌)) = (𝐹‘𝑌)))
113	111, 112	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))
114	113	impr 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
115	114	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ (𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
116	26, 115	rexlimddv 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
117	1, 5, 18, 2, 20, 3	prjspner 43627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)
118	117	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → ∼ Er 𝐵)
119		prjspnnorm.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
120	1, 42, 106, 5, 18, 2, 40, 20, 3, 45, 119	prjspnequivnorm 43640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))
121	120	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))
122	1, 42, 106, 5, 18, 2, 40, 20, 3, 45, 50	prjspnequivnorm 43640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∼ (𝐹‘𝑌))
123	122	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑌 ∼ (𝐹‘𝑌))
124		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
125	123, 124	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑌 ∼ (𝐹‘𝑋))
126	118, 121, 125	ertr4d 8730	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑋 ∼ 𝑌)
127	116, 126	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  {csn 4584   class class class wbr 5103  {copab 5167   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   Er wer 8707  infcinf 9426  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336  ℕ₀cn0 12599  ...cfz 13632  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  0_gc0g 17603  1_rcur 20400  Ringcrg 20452  inv_rcinvr 20610  DivRingcdr 20973  LModclmod 21128  LVecclvec 21370   freeLMod cfrlm 22045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-nzr 20756  df-subrg 20815  df-rlreg 20939  df-domn 20940  df-drng 20975  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lvec 21371  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-dsmm 22031  df-frlm 22046

This theorem is used by: (None)