Theorem prjspnnorm 43755

Description: In a free module, two nonzero vectors are equivalent iff they have the same normalized representative. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnnorm.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnnorm.j	⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
prjspnnorm.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘(𝑣‘(𝐽‘𝑣))) · 𝑣))
prjspnnorm.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnnorm.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnnorm.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnnorm.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspnnorm.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnnorm.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnnorm.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnnorm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prjspnnorm.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prjspnnorm	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦   𝐼,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   𝑖,𝐽,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑖,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑖   𝑆,𝑙   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑋,𝑏,𝑖,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   · ,𝑙,𝑣,𝑥,𝑦   𝑆,𝑖   𝑌,𝑏,𝑙,𝑖,𝑣,𝑥,𝑦   · ,𝑏,𝑖   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑏, 𝑙)   𝐵(𝑖, 𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑏)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑖, 𝑏, 𝑙)   𝐼(𝑖, 𝑏)   𝐽(𝑏)   𝐾(𝑣, 𝑙)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑙)   𝑊(𝑣, 𝑖, 𝑏)

Proof of Theorem prjspnnorm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnnorm.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2		prjspnnorm.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
3		prjspnnorm.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
4		ovexd 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
5		prjspnnorm.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
6	5	frlmsca 22065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
7	3, 4, 6	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
8	7	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	2, 8	eqtrid 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	9	rexeqdv 3320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦)))
11	10	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
12	11	opabbidv 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
13	1, 12	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
14	13	breqd 5113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ 𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑌))
15	5	frlmlvec 22073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
16	3, 4, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
17		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
18		prjspnnorm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
19		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20		prjspnnorm.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23	17, 18, 19, 20, 21, 22	prjspreln0 43731	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
24	16, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
25	14, 24	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))))
26	25	simplbda 505	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → ∃𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
27		eldifsn 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑚 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
28	9	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = 𝑆)
29	28	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑚 ∈ 𝑆))
30	7	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = 𝐾)
31	30	fveq2d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘𝐾))
32	31	neeq2d 3015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾)))
33	29, 32	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑚 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))))
34	27, 33	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))))
35		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
36		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
37	16	lveclmodd 21388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑊 ∈ LMod)
39		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
40		prjspnnorm.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
41	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝐾 ∈ DivRing)
42		prjspnnorm.j	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐽 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ inf({𝑖 ∈ (0...𝑁) ∣ (𝑏‘𝑖) ≠ (0g‘𝐾)}, ℝ, < ))
43	3	drngringd 20994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝐾 ∈ Ring)
45		prjspnnorm.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑚 ∈ 𝑆)
48		difss 4072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ (Base‘𝑊)
49	18, 48	eqsstri 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)
50		prjspnnorm.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
51	49, 50	sselid 3906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
53	5, 35, 2, 20, 44, 47, 52	frlmvscl 43660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑚 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
54		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))
55	7	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
56	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
57	54, 56	neeqtrd 3024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑚 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
58	50, 18	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
59	58	eldifsnbd 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))
60	59	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))
61		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
62	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑊 ∈ LVec)
63	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
64	47, 63	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
65	35, 20, 19, 21, 22, 61, 62, 64, 52	lvecvsn0 21393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊) ↔ (𝑚 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊))))
66	57, 60, 65	mpbir2and 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑚 · 𝑌) ≠ (0g‘𝑊))
67	53, 66	eldifsnd 4746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑚 · 𝑌) ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
68	67, 18	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑚 · 𝑌) ∈ 𝐵)
69	42, 5, 18, 44, 46, 68, 2	frlmnzcoordcl2 43750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))) ∈ 𝑆)
70	42, 5, 18, 44, 46, 68	frlmnzcoordn0 43751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))) ≠ (0g‘𝐾))
71	2, 39, 40, 41, 69, 70	drnginvrcld 21019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) ∈ 𝑆)
72	71, 63	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
73	35, 19, 20, 21, 36, 38, 72, 64, 52	lmodvsassd 43685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) · (𝑚 · 𝑌)))
74	30	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘𝐾))
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘𝐾))
76	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
77	42, 5, 18, 20, 39, 2, 41, 46, 76, 47, 54	frlmnzcoordsca 43752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐽‘(𝑚 · 𝑌)) = (𝐽‘𝑌))
78	77	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))) = ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘𝑌)))
79		ovexd 7456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (0...𝑁) ∈ V)
80	42, 5, 18, 43, 45, 50	frlmnzcoordcl 43749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑌) ∈ (0...𝑁))
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐽‘𝑌) ∈ (0...𝑁))
82		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
83	5, 35, 2, 79, 47, 52, 81, 20, 82	frlmvscaval 22080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘𝑌)) = (𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘(𝐽‘𝑌))))
84	78, 83	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))) = (𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘(𝐽‘𝑌))))
85	84	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) = (𝐼‘(𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))))
86	42, 5, 18, 43, 45, 50, 2	frlmnzcoordcl2 43750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘(𝐽‘𝑌)) ∈ 𝑆)
87	86	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑌‘(𝐽‘𝑌)) ∈ 𝑆)
88	42, 5, 18, 43, 45, 50	frlmnzcoordn0 43751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘(𝐽‘𝑌)) ≠ (0g‘𝐾))
89	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝑌‘(𝐽‘𝑌)) ≠ (0g‘𝐾))
90	2, 39, 82, 40, 41, 47, 87, 54, 89	drnginvmuld 43682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘(𝑚(.r‘𝐾)(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)))
91	85, 90	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚)))
92		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → 𝑚 = 𝑚)
93	75, 91, 92	oveq123d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) = (((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘𝐾)𝑚))
94	2, 39, 40, 3, 86, 88	drnginvrcld 21019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) ∈ 𝑆)
95	94	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) ∈ 𝑆)
96	2, 39, 40, 41, 47, 54	drnginvrcld 21019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐼‘𝑚) ∈ 𝑆)
97	2, 82, 44, 95, 96, 47	ringassd 20491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(𝐼‘𝑚))(.r‘𝐾)𝑚) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)))
98		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
99	2, 39, 82, 98, 40, 41, 47, 54	drnginvrld 21022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚) = (1r‘𝐾))
100	99	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)))
101	2, 82, 98, 44, 95	ringridmd 20508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)) = (𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))))
102	100, 101	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌)))(.r‘𝐾)((𝐼‘𝑚)(.r‘𝐾)𝑚)) = (𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))))
103	93, 97, 102	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) = (𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))))
104	103	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌))))(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑚) · 𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) · 𝑌))
105	73, 104	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) · (𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) · 𝑌))
106		prjspnnorm.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘(𝑣‘(𝐽‘𝑣))) · 𝑣))
107	106, 68	prjspnnormval 43753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐹‘(𝑚 · 𝑌)) = ((𝐼‘((𝑚 · 𝑌)‘(𝐽‘(𝑚 · 𝑌)))) · (𝑚 · 𝑌)))
108	106, 50	prjspnnormval 43753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) · 𝑌))
109	108	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐹‘𝑌) = ((𝐼‘(𝑌‘(𝐽‘𝑌))) · 𝑌))
110	105, 107, 109	3eqtr4d 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ 𝑆 ∧ 𝑚 ≠ (0g‘𝐾))) → (𝐹‘(𝑚 · 𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
111	34, 110	sylbida 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐹‘(𝑚 · 𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
112		fveqeq2 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌) ↔ (𝐹‘(𝑚 · 𝑌)) = (𝐹‘𝑌)))
113	111, 112	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝑋 = (𝑚 · 𝑌) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))
114	113	impr 460	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
115	114	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) ∧ (𝑚 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
116	26, 115	rexlimddv 3169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∼ 𝑌) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
117	1, 5, 18, 2, 20, 3	prjspner 43741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐵)
118	117	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → ∼ Er 𝐵)
119		prjspnnorm.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
120	1, 42, 106, 5, 18, 2, 40, 20, 3, 45, 119	prjspnequivnorm 43754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))
121	120	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑋 ∼ (𝐹‘𝑋))
122	1, 42, 106, 5, 18, 2, 40, 20, 3, 45, 50	prjspnequivnorm 43754	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∼ (𝐹‘𝑌))
123	122	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑌 ∼ (𝐹‘𝑌))
124		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
125	123, 124	breqtrrd 5132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑌 ∼ (𝐹‘𝑋))
126	118, 121, 125	ertr4d 8741	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) → 𝑋 ∼ 𝑌)
127	116, 126	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  {csn 4584   class class class wbr 5102  {copab 5166   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   Er wer 8718  infcinf 9437  ℝcr 11203  0cc0 11204   < clt 11347  ℕ₀cn0 12610  ...cfz 13643  Basecbs 17393  ._rcmulr 17435  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  0_gc0g 17616  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  inv_rcinvr 20623  DivRingcdr 20986  LModclmod 21141  LVecclvec 21383   freeLMod cfrlm 22058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-prds 17624  df-pws 17626  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-nzr 20769  df-subrg 20828  df-rlreg 20952  df-domn 20953  df-drng 20988  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lvec 21384  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-dsmm 22044  df-frlm 22059

This theorem is used by: (None)