Theorem ricdrng1 43395

Description: A ring isomorphism maps a division ring to a division ring. (Contributed by SN, 18-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ricdrng1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)

Proof of Theorem ricdrng1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20655	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4303	. . 3 ⊢ ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
4		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6	4, 5	rimf1o 20639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
7		f1ofo 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆))
8		foima 6798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
9	6, 7, 8	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
10	9	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
11		rimrcl2 20643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
12	5	ressid 17338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
14	10, 13	eqtr2d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
16		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅)))
17		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
18		rimrhm 20641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
20	4	sdrgid 20957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
22		forn 6796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
23	6, 7, 22	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
25		rhmrcl2 20618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	5, 26	ringidcl 20405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
28	18, 25, 27	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
29		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	29, 30	drngunz 20909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
33		f1of1 6820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆))
34	6, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆))
35		drngring 20896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
36	4, 30	ringidcl 20405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
38	4, 29	ring0cl 20407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	35, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	37, 39	jca 521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
41		f1veqaeq 7256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
42	34, 40, 41	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
43	42	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅))) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
44	32, 43	mteqand 3048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) ≠ (𝑓‘(0g‘𝑅)))
45	30, 26	rhm1 20634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
46	19, 45	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
47		rhmghm 20624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
48	29, 17	ghmid 19348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝑓‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
49	19, 47, 48	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
50	44, 46, 49	3netr3d 3033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
51		nelsn 4630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆) → ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)})
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)})
53		nelne1 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)}) → (Base‘𝑆) ≠ {(0g‘𝑆)})
54	28, 52, 53	syl2an2r 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝑆) ≠ {(0g‘𝑆)})
55	24, 54	eqnetrd 3024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ran 𝑓 ≠ {(0g‘𝑆)})
56	16, 17, 19, 21, 55	imadrhmcl 20962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) ∈ DivRing)
57	15, 56	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)
58	57	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ DivRing → 𝑆 ∈ DivRing))
59	58	exlimiv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ DivRing → 𝑆 ∈ DivRing))
60	59	imp 412	. 2 ⊢ ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)
61	3, 60	sylanb 593	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107  ran crn 5660   “ cima 5662  –1-1→wf1 6534  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303   ↾_s cress 17324  0_gc0g 17526   GrpHom cghm 19339  1_rcur 20319  Ringcrg 20371   RingHom crh 20609   RingIso crs 20610   ≃_𝑟 cric 20611  DivRingcdr 20889  SubDRingcsdrg 20951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-rhm 20612  df-rim 20613  df-ric 20653  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-drng 20891  df-sdrg 20952

This theorem is used by:  ricdrng  43396