Theorem ricdrng1 42501

Description: A ring isomorphism maps a division ring to a division ring. (Contributed by SN, 18-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ricdrng1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)

Proof of Theorem ricdrng1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20472	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4333	. . 3 ⊢ ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
4		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6	4, 5	rimf1o 20462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
7		f1ofo 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆))
8		foima 6805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
10	9	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
11		rimrcl2 42489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
12	5	ressid 17267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
14	10, 13	eqtr2d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
16		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅)))
17		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
18		rimrhm 20464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
20	4	sdrgid 20761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
22		forn 6803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
23	6, 7, 22	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
25		rhmrcl2 20445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	5, 26	ringidcl 20230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
28	18, 25, 27	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
29		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	29, 30	drngunz 20715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
33		f1of1 6827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆))
34	6, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆))
35		drngring 20704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
36	4, 30	ringidcl 20230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
38	4, 29	ring0cl 20232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	35, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	37, 39	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
41		f1veqaeq 7259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
42	34, 40, 41	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
43	42	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅))) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
44	32, 43	mteqand 3022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) ≠ (𝑓‘(0g‘𝑅)))
45	30, 26	rhm1 20457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
46	19, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
47		rhmghm 20452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
48	29, 17	ghmid 19209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝑓‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
49	19, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
50	44, 46, 49	3netr3d 3007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
51		nelsn 4646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆) → ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)})
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)})
53		nelne1 3028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)}) → (Base‘𝑆) ≠ {(0g‘𝑆)})
54	28, 52, 53	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝑆) ≠ {(0g‘𝑆)})
55	24, 54	eqnetrd 2998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ran 𝑓 ≠ {(0g‘𝑆)})
56	16, 17, 19, 21, 55	imadrhmcl 20766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) ∈ DivRing)
57	15, 56	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)
58	57	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ DivRing → 𝑆 ∈ DivRing))
59	58	exlimiv 1929	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ DivRing → 𝑆 ∈ DivRing))
60	59	imp 406	. 2 ⊢ ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)
61	3, 60	sylanb 581	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∅c0 4313  {csn 4606   class class class wbr 5123  ran crn 5666   “ cima 5668  –1-1→wf1 6538  –onto→wfo 6539  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229   ↾_s cress 17252  0_gc0g 17455   GrpHom cghm 19199  1_rcur 20146  Ringcrg 20198   RingHom crh 20437   RingIso crs 20438   ≃_𝑟 cric 20439  DivRingcdr 20697  SubDRingcsdrg 20755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-mhm 18765  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-subg 19110  df-ghm 19200  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-rhm 20440  df-rim 20441  df-ric 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-drng 20699  df-sdrg 20756

This theorem is referenced by:  ricdrng  42502