Theorem ricdrng1 43783

Description: A ring isomorphic to a division ring is a division ring. (Contributed by SN, 18-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ricdrng1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)

Proof of Theorem ricdrng1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20772	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4303	. . 3 ⊢ ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
4		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6	4, 5	rimf1o 20756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)⟶1-1onto(Base‘𝑆))
7		f1ofo 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)⟶1-1onto(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)⟶onto(Base‘𝑆))
8		foima 6820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)⟶onto(Base‘𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
9	6, 7, 8	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
10	9	oveq2d 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
11		rimrcl2 20760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
12	5	ressid 17448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
14	10, 13	eqtr2d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅)))
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
18		rimrhm 20758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
20	4	sdrgid 21076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
22		forn 6818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)⟶onto(Base‘𝑆) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
23	6, 7, 22	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
25		rhmrcl2 20735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	5, 26	ringidcl 20521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
28	18, 25, 27	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
29		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	29, 30	drngunz 21028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
33		f1of1 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)⟶1-1onto(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)⟶1-1(Base‘𝑆))
34	6, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)⟶1-1(Base‘𝑆))
35		drngring 21014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
36	4, 30	ringidcl 20521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
38	4, 29	ring0cl 20523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	35, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	37, 39	jca 521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
41		f1veqaeq 7280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:(Base‘𝑅)⟶1-1(Base‘𝑆) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
42	34, 40, 41	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
43	42	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅))) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
44	32, 43	mteqand 3050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) ≠ (𝑓‘(0g‘𝑅)))
45	30, 26	rhm1 20751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
46	19, 45	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
47		rhmghm 20741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
48	29, 17	ghmid 19462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝑓‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
49	19, 47, 48	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
50	44, 46, 49	3netr3d 3035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
51		nelsn 4627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆) → ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)})
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)})
53		nelne1 3056	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)}) → (Base‘𝑆) ≠ {(0g‘𝑆)})
54	28, 52, 53	syl2an2r 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝑆) ≠ {(0g‘𝑆)})
55	24, 54	eqnetrd 3026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ran 𝑓 ≠ {(0g‘𝑆)})
56	16, 17, 19, 21, 55	imadrhmcl 21081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) ∈ DivRing)
57	15, 56	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)
58	57	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ DivRing → 𝑆 ∈ DivRing))
59	58	exlimiv 1965	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ DivRing → 𝑆 ∈ DivRing))
60	59	imp 412	. 2 ⊢ ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)
61	3, 60	sylanb 593	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  ran crn 5656   “ cima 5658  ⟶1-1wf1 6552  ⟶ontowfo 6553  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  0_gc0g 17636   GrpHom cghm 19453  1_rcur 20434  Ringcrg 20486   RingHom crh 20726   RingIso crs 20727   ≃_𝑟 cric 20728  DivRingcdr 21007  SubDRingcsdrg 21070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-rhm 20729  df-rim 20730  df-ric 20770  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-sdrg 21071

This theorem is used by:  ricdrng  43784