Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ricdrng1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ricdrng1 41661
Description: A ring isomorphism maps a division ring to a division ring. (Contributed by SN, 18-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
ricdrng1 ((𝑅 β‰ƒπ‘Ÿ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝑆 ∈ DivRing)

Proof of Theorem ricdrng1
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brric 20406 . . 3 (𝑅 β‰ƒπ‘Ÿ 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) β‰  βˆ…)
2 n0 4341 . . 3 ((𝑅 RingIso 𝑆) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
31, 2bitri 275 . 2 (𝑅 β‰ƒπ‘Ÿ 𝑆 ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
4 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
5 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
64, 5rimf1o 20396 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘†))
7 f1ofo 6834 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘†) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘†))
8 foima 6804 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘†) β†’ (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…)) = (Baseβ€˜π‘†))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…)) = (Baseβ€˜π‘†))
109oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…))) = (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)))
11 rimrcl2 41650 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
125ressid 17198 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring β†’ (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)) = 𝑆)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘†)) = 𝑆)
1410, 13eqtr2d 2767 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ 𝑆 = (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…))))
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝑆 = (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…))))
16 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…))) = (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…)))
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
18 rimrhm 20398 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
204sdrgid 20643 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
22 forn 6802 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘†) β†’ ran 𝑓 = (Baseβ€˜π‘†))
236, 7, 223syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ ran 𝑓 = (Baseβ€˜π‘†))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ ran 𝑓 = (Baseβ€˜π‘†))
25 rhmrcl2 20379 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
26 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
275, 26ringidcl 20165 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2818, 25, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
29 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
30 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3129, 30drngunz 20606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
33 f1of1 6826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜π‘†) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘†))
346, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘†))
35 drngring 20594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
364, 30ringidcl 20165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
384, 29ring0cl 20166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4037, 39jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
41 f1veqaeq 7252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:(Baseβ€˜π‘…)–1-1β†’(Baseβ€˜π‘†) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘“β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (π‘“β€˜(0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
4234, 40, 41syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ ((π‘“β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (π‘“β€˜(0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
4342imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (π‘“β€˜(0gβ€˜π‘…))) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
4432, 43mteqand 3027 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘…)) β‰  (π‘“β€˜(0gβ€˜π‘…)))
4530, 26rhm1 20391 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))
4619, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))
47 rhmghm 20386 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
4829, 17ghmid 19147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) β†’ (π‘“β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘†))
4919, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (π‘“β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘†))
5044, 46, 493netr3d 3011 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (1rβ€˜π‘†) β‰  (0gβ€˜π‘†))
51 nelsn 4663 . . . . . . . . . 10 ((1rβ€˜π‘†) β‰  (0gβ€˜π‘†) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘†) ∈ {(0gβ€˜π‘†)})
5250, 51syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘†) ∈ {(0gβ€˜π‘†)})
53 nelne1 3033 . . . . . . . . 9 (((1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ Β¬ (1rβ€˜π‘†) ∈ {(0gβ€˜π‘†)}) β†’ (Baseβ€˜π‘†) β‰  {(0gβ€˜π‘†)})
5428, 52, 53syl2an2r 682 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜π‘†) β‰  {(0gβ€˜π‘†)})
5524, 54eqnetrd 3002 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ ran 𝑓 β‰  {(0gβ€˜π‘†)})
5616, 17, 19, 21, 55imadrhmcl 20648 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (𝑆 β†Ύs (𝑓 β€œ (Baseβ€˜π‘…))) ∈ DivRing)
5715, 56eqeltrd 2827 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
5857ex 412 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑆 ∈ DivRing))
5958exlimiv 1925 . . 3 (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) β†’ (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑆 ∈ DivRing))
6059imp 406 . 2 ((βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
613, 60sylanb 580 1 ((𝑅 β‰ƒπ‘Ÿ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ…c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141  ran crn 5670   β€œ cima 5672  β€“1-1β†’wf1 6534  β€“ontoβ†’wfo 6535  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  0gc0g 17394   GrpHom cghm 19138  1rcur 20086  Ringcrg 20138   RingHom crh 20371   RingIso crs 20372   β‰ƒπ‘Ÿ cric 20373  DivRingcdr 20587  SubDRingcsdrg 20637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-rhm 20374  df-rim 20375  df-ric 20377  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-sdrg 20638
This theorem is referenced by:  ricdrng  41662
  Copyright terms: Public domain W3C validator