Theorem ricdrng1 42620

Description: A ring isomorphism maps a division ring to a division ring. (Contributed by SN, 18-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ricdrng1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)

Proof of Theorem ricdrng1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20419	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4300	. . 3 ⊢ ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
4		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6	4, 5	rimf1o 20410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
7		f1ofo 6770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆))
8		foima 6740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
10	9	oveq2d 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
11		rimrcl2 42608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
12	5	ressid 17155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
14	10, 13	eqtr2d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
16		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅)))
17		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
18		rimrhm 20411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
20	4	sdrgid 20707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
22		forn 6738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
23	6, 7, 22	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
25		rhmrcl2 20395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	5, 26	ringidcl 20183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
28	18, 25, 27	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
29		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	29, 30	drngunz 20662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
33		f1of1 6762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆))
34	6, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆))
35		drngring 20651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
36	4, 30	ringidcl 20183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
38	4, 29	ring0cl 20185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	35, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	37, 39	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
41		f1veqaeq 7190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
42	34, 40, 41	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
43	42	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅))) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
44	32, 43	mteqand 3019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) ≠ (𝑓‘(0g‘𝑅)))
45	30, 26	rhm1 20406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
46	19, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
47		rhmghm 20401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
48	29, 17	ghmid 19134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝑓‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
49	19, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
50	44, 46, 49	3netr3d 3004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
51		nelsn 4616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆) → ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)})
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)})
53		nelne1 3025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)}) → (Base‘𝑆) ≠ {(0g‘𝑆)})
54	28, 52, 53	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝑆) ≠ {(0g‘𝑆)})
55	24, 54	eqnetrd 2995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ran 𝑓 ≠ {(0g‘𝑆)})
56	16, 17, 19, 21, 55	imadrhmcl 20712	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) ∈ DivRing)
57	15, 56	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)
58	57	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ DivRing → 𝑆 ∈ DivRing))
59	58	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ DivRing → 𝑆 ∈ DivRing))
60	59	imp 406	. 2 ⊢ ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)
61	3, 60	sylanb 581	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  {csn 4573   class class class wbr 5089  ran crn 5615   “ cima 5617  –1-1→wf1 6478  –onto→wfo 6479  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343   GrpHom cghm 19124  1_rcur 20099  Ringcrg 20151   RingHom crh 20387   RingIso crs 20388   ≃_𝑟 cric 20389  DivRingcdr 20644  SubDRingcsdrg 20701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-rhm 20390  df-rim 20391  df-ric 20393  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-sdrg 20702

This theorem is referenced by:  ricdrng  42621