Theorem ricdrng1 42927

Description: A ring isomorphism maps a division ring to a division ring. (Contributed by SN, 18-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ricdrng1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)

Proof of Theorem ricdrng1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20454	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4307	. . 3 ⊢ ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
4		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6	4, 5	rimf1o 20445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
7		f1ofo 6791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆))
8		foima 6761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑓 “ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝑆))
10	9	oveq2d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)))
11		rimrcl2 42915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
12	5	ressid 17185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑆 ↾s (Base‘𝑆)) = 𝑆)
14	10, 13	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))))
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) = (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅)))
17		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
18		rimrhm 20446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
20	4	sdrgid 20742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
22		forn 6759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–onto→(Base‘𝑆) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
23	6, 7, 22	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ran 𝑓 = (Base‘𝑆))
25		rhmrcl2 20430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	5, 26	ringidcl 20217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
28	18, 25, 27	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
29		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
30		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
31	29, 30	drngunz 20697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
33		f1of1 6783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆))
34	6, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆))
35		drngring 20686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
36	4, 30	ringidcl 20217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
38	4, 29	ring0cl 20219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	35, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	37, 39	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
41		f1veqaeq 7214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:(Base‘𝑅)–1-1→(Base‘𝑆) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
42	34, 40, 41	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
43	42	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (𝑓‘(0g‘𝑅))) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
44	32, 43	mteqand 3024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) ≠ (𝑓‘(0g‘𝑅)))
45	30, 26	rhm1 20441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
46	19, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
47		rhmghm 20436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
48	29, 17	ghmid 19168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝑓‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
49	19, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑓‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
50	44, 46, 49	3netr3d 3009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
51		nelsn 4625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆) → ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)})
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)})
53		nelne1 3030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ¬ (1r‘𝑆) ∈ {(0g‘𝑆)}) → (Base‘𝑆) ≠ {(0g‘𝑆)})
54	28, 52, 53	syl2an2r 686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝑆) ≠ {(0g‘𝑆)})
55	24, 54	eqnetrd 3000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ran 𝑓 ≠ {(0g‘𝑆)})
56	16, 17, 19, 21, 55	imadrhmcl 20747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑆 ↾s (𝑓 “ (Base‘𝑅))) ∈ DivRing)
57	15, 56	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)
58	57	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ DivRing → 𝑆 ∈ DivRing))
59	58	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ DivRing → 𝑆 ∈ DivRing))
60	59	imp 406	. 2 ⊢ ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)
61	3, 60	sylanb 582	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑆 ∈ DivRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100  ran crn 5635   “ cima 5637  –1-1→wf1 6499  –onto→wfo 6500  –1-1-onto→wf1o 6501  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  0_gc0g 17373   GrpHom cghm 19158  1_rcur 20133  Ringcrg 20185   RingHom crh 20422   RingIso crs 20423   ≃_𝑟 cric 20424  DivRingcdr 20679  SubDRingcsdrg 20736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-rhm 20425  df-rim 20426  df-ric 20428  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-drng 20681  df-sdrg 20737

This theorem is referenced by:  ricdrng  42928