MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodvsass 20502
Description: Associative law for scalar product. (ax-hvmulass 30298 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsass.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsass.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsass.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsass.t Γ— = (.rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvsass ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem lmodvsass
StepHypRef Expression
1 lmodvsass.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
3 lmodvsass.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4 lmodvsass.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 lmodvsass.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
7 lmodvsass.t . . . . . . 7 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 20480 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)))
109simprld 770 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
11103expa 1118 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
1211anabsan2 672 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
1312exp42 436 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑄 ∈ 𝐾 β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋))))))
14133imp2 1349 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  .rcmulr 17200  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  1rcur 20006  LModclmod 20475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7414  df-lmod 20477
This theorem is referenced by:  lmodvs0  20511  lmodvsneg  20521  lmodsubvs  20533  lmodsubdi  20534  lmodsubdir  20535  islss3  20575  lss1d  20579  prdslmodd  20585  lmodvsinv  20652  lmhmvsca  20661  lvecvs0or  20727  lssvs0or  20729  lvecinv  20732  lspsnvs  20733  lspfixed  20747  lspsolvlem  20761  lspsolv  20762  frlmup1  21359  assa2ass  21424  ascldimul  21448  assamulgscmlem2  21460  mplmon2mul  21636  smatvscl  22033  matinv  22186  clmvsass  24612  cvsi  24653  imaslmod  32509  lshpkrlem4  38069  lcdvsass  40564  baerlem3lem1  40664  hgmapmul  40852  prjspertr  41429  prjspner1  41450  mendlmod  42017  lincscm  47189  ldepsprlem  47231  lincresunit3lem3  47233  lincresunit3lem1  47238
  Copyright terms: Public domain W3C validator