Theorem lmodvsass 20985

Description: Associative law for scalar product. (ax-hvmulass 31299 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsass.t	⊢ × = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsass	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsass.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		lmodvsass.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodvsass.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodvsass.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
7		lmodvsass.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝐹)
8		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 20963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
10	9	simprld 783	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
11	10	3expa 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
12	11	anabsan2 686	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
13	12	exp42 440	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐾 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋))))))
14	13	3imp2 1366	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  1_rcur 20262  LModclmod 20958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-nul 5271

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7414  df-lmod 20960

This theorem is referenced by:  lmodvs0  20994  lmodvsneg  21004  lmodsubvs  21016  lmodsubdi  21017  lmodsubdir  21018  islss3  21057  lss1d  21061  prdslmodd  21067  lmodvsinv  21134  lmhmvsca  21143  lvecvs0or  21209  lssvs0or  21211  lvecinv  21214  lspsnvs  21215  lspfixed  21229  lspsolvlem  21243  lspsolv  21244  frlmup1  21916  assa2ass  21981  assa2ass2  21982  ascldimul  22006  assamulgscmlem2  22018  mplmon2mul  22188  smatvscl  22649  matinv  22802  clmvsass  25216  cvsi  25257  imaslmod  33615  vietalem  33913  lshpkrlem4  39776  lcdvsass  42270  baerlem3lem1  42370  hgmapmul  42558  prjspertr  43228  prjspner1  43249  mendlmod  43807  lincscm  49094  ldepsprlem  49136  lincresunit3lem3  49138  lincresunit3lem1  49143