Theorem lmodvsass 20885

Description: Associative law for scalar product. (ax-hvmulass 31026 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsass.t	⊢ × = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsass	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsass.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		lmodvsass.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodvsass.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodvsass.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
7		lmodvsass.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝐹)
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 20863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
10	9	simprld 772	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
11	10	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
12	11	anabsan2 674	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
13	12	exp42 435	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐾 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋))))))
14	13	3imp2 1350	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  1_rcur 20178  LModclmod 20858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434  df-lmod 20860

This theorem is referenced by:  lmodvs0  20894  lmodvsneg  20904  lmodsubvs  20916  lmodsubdi  20917  lmodsubdir  20918  islss3  20957  lss1d  20961  prdslmodd  20967  lmodvsinv  21035  lmhmvsca  21044  lvecvs0or  21110  lssvs0or  21112  lvecinv  21115  lspsnvs  21116  lspfixed  21130  lspsolvlem  21144  lspsolv  21145  frlmup1  21818  assa2ass  21883  assa2ass2  21884  ascldimul  21908  assamulgscmlem2  21920  mplmon2mul  22093  smatvscl  22530  matinv  22683  clmvsass  25122  cvsi  25163  imaslmod  33381  lshpkrlem4  39114  lcdvsass  41609  baerlem3lem1  41709  hgmapmul  41897  prjspertr  42615  prjspner1  42636  mendlmod  43201  lincscm  48347  ldepsprlem  48389  lincresunit3lem3  48391  lincresunit3lem1  48396