Theorem lmodvsass 20838

Description: Associative law for scalar product. (ax-hvmulass 31082 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsass.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsass.t	⊢ × = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsass	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsass.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		lmodvsass.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodvsass.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodvsass.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
7		lmodvsass.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝐹)
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 20816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
10	9	simprld 771	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
11	10	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
12	11	anabsan2 674	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
13	12	exp42 435	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐾 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋))))))
14	13	3imp2 1350	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  1_rcur 20116  LModclmod 20811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-nul 5251

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-lmod 20813

This theorem is referenced by:  lmodvs0  20847  lmodvsneg  20857  lmodsubvs  20869  lmodsubdi  20870  lmodsubdir  20871  islss3  20910  lss1d  20914  prdslmodd  20920  lmodvsinv  20988  lmhmvsca  20997  lvecvs0or  21063  lssvs0or  21065  lvecinv  21068  lspsnvs  21069  lspfixed  21083  lspsolvlem  21097  lspsolv  21098  frlmup1  21753  assa2ass  21818  assa2ass2  21819  ascldimul  21844  assamulgscmlem2  21856  mplmon2mul  22024  smatvscl  22468  matinv  22621  clmvsass  25045  cvsi  25086  imaslmod  33434  vietalem  33735  lshpkrlem4  39373  lcdvsass  41867  baerlem3lem1  41967  hgmapmul  42155  prjspertr  42848  prjspner1  42869  mendlmod  43431  lincscm  48676  ldepsprlem  48718  lincresunit3lem3  48720  lincresunit3lem1  48725