MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsass 19588
Description: Associative law for scalar product. (ax-hvmulass 28711 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsass.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsass.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsass.t × = (.r𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsass ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsass
StepHypRef Expression
1 lmodvsass.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2818 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3 lmodvsass.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
4 lmodvsass.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 lmodvsass.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
6 eqid 2818 . . . . . . 7 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7 lmodvsass.t . . . . . . 7 × = (.r𝐹)
8 eqid 2818 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 19568 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
109simprld 768 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
11103expa 1110 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
1211anabsan2 670 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
1312exp42 436 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑄𝐾 → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋))))))
14133imp2 1341 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  1rcur 19180  LModclmod 19563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-nul 5201
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7148  df-lmod 19565
This theorem is referenced by:  lmodvs0  19597  lmodvsneg  19607  lmodsubvs  19619  lmodsubdi  19620  lmodsubdir  19621  islss3  19660  lss1d  19664  prdslmodd  19670  lmodvsinv  19737  lmhmvsca  19746  lvecvs0or  19809  lssvs0or  19811  lvecinv  19814  lspsnvs  19815  lspfixed  19829  lspsolvlem  19843  lspsolv  19844  assa2ass  20023  ascldimul  20044  ascldimulOLD  20045  assamulgscmlem2  20057  mplmon2mul  20209  frlmup1  20870  smatvscl  21061  matinv  21214  clmvsass  23620  cvsi  23661  imaslmod  30849  lshpkrlem4  36129  lcdvsass  38623  baerlem3lem1  38723  hgmapmul  38911  prjspertr  39133  mendlmod  39671  lincscm  44413  ldepsprlem  44455  lincresunit3lem3  44457  lincresunit3lem1  44462
  Copyright terms: Public domain W3C validator