MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodvsass 20497
Description: Associative law for scalar product. (ax-hvmulass 30260 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsass.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsass.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsass.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsass.t Γ— = (.rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvsass ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem lmodvsass
StepHypRef Expression
1 lmodvsass.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
3 lmodvsass.s . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4 lmodvsass.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 lmodvsass.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
7 lmodvsass.t . . . . . . 7 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
8 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 20476 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋))) ∧ (((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)))
109simprld 771 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
11103expa 1119 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
1211anabsan2 673 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
1312exp42 437 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑄 ∈ 𝐾 β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋))))))
14133imp2 1350 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 Γ— 𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  1rcur 20004  LModclmod 20471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-lmod 20473
This theorem is referenced by:  lmodvs0  20506  lmodvsneg  20516  lmodsubvs  20528  lmodsubdi  20529  lmodsubdir  20530  islss3  20570  lss1d  20574  prdslmodd  20580  lmodvsinv  20647  lmhmvsca  20656  lvecvs0or  20721  lssvs0or  20723  lvecinv  20726  lspsnvs  20727  lspfixed  20741  lspsolvlem  20755  lspsolv  20756  frlmup1  21353  assa2ass  21418  ascldimul  21442  assamulgscmlem2  21454  mplmon2mul  21630  smatvscl  22026  matinv  22179  clmvsass  24605  cvsi  24646  imaslmod  32468  lshpkrlem4  37983  lcdvsass  40478  baerlem3lem1  40578  hgmapmul  40766  prjspertr  41347  prjspner1  41368  mendlmod  41935  lincscm  47111  ldepsprlem  47153  lincresunit3lem3  47155  lincresunit3lem1  47160
  Copyright terms: Public domain W3C validator