MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsass 20885
Description: Associative law for scalar product. (ax-hvmulass 31026 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsass.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsass.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsass.t × = (.r𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsass ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsass
StepHypRef Expression
1 lmodvsass.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3 lmodvsass.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
4 lmodvsass.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 lmodvsass.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7 lmodvsass.t . . . . . . 7 × = (.r𝐹)
8 eqid 2737 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 20863 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
109simprld 772 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
11103expa 1119 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
1211anabsan2 674 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
1312exp42 435 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑄𝐾 → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋))))))
14133imp2 1350 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  1rcur 20178  LModclmod 20858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434  df-lmod 20860
This theorem is referenced by:  lmodvs0  20894  lmodvsneg  20904  lmodsubvs  20916  lmodsubdi  20917  lmodsubdir  20918  islss3  20957  lss1d  20961  prdslmodd  20967  lmodvsinv  21035  lmhmvsca  21044  lvecvs0or  21110  lssvs0or  21112  lvecinv  21115  lspsnvs  21116  lspfixed  21130  lspsolvlem  21144  lspsolv  21145  frlmup1  21818  assa2ass  21883  assa2ass2  21884  ascldimul  21908  assamulgscmlem2  21920  mplmon2mul  22093  smatvscl  22530  matinv  22683  clmvsass  25122  cvsi  25163  imaslmod  33381  lshpkrlem4  39114  lcdvsass  41609  baerlem3lem1  41709  hgmapmul  41897  prjspertr  42615  prjspner1  42636  mendlmod  43201  lincscm  48347  ldepsprlem  48389  lincresunit3lem3  48391  lincresunit3lem1  48396
  Copyright terms: Public domain W3C validator