Theorem lmodvs0d 43856

Description: A scalar times the zero vector is the zero vector. (Contributed by SN, 24-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvs0d.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvs0d.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvs0d.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvs0d.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lmodvs0d.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodvs0d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lmodvs0d	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem lmodvs0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvs0d.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvs0d.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
3		lmodvs0d.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lmodvs0d.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lmodvs0d.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		lmodvs0d.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lmodvs0 21222	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
8	1, 2, 7	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  LModclmod 21186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188

This theorem is used by: (None)