Theorem prjspertr 43135

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspertr	⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → 𝑋 ∼ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑍,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspertr

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	prjsprel 43134	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3	2	simprbi 500	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
4	3	ad2antrl 736	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5		simplrr 785	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌 ∼ 𝑍)
6	1	prjsprel 43134	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))
7	6	simprbi 500	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
9		simplrl 784	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))) → 𝑋 ∼ 𝑌)
10	9	anassrs 470	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∼ 𝑌)
11		simpll 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	2, 11	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	5	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 ∼ 𝑍)
15		simplr 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
16	6, 15	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18		oveq1 7392	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) → (𝑜 · 𝑍) = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍))
19	18	eqeq2d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍)))
20		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
21		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
22		prjspertr.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
23	22	lmodring 20908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
24	23	ad3antrrr 738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑆 ∈ Ring)
25		simplrl 784	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑚 ∈ 𝐾)
26		simprl 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑛 ∈ 𝐾)
27	20, 21, 24, 25, 26	ringcld 20282	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
28		simprr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
29	28	oveq2d 7401	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚 · 𝑌) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
30		simplrr 785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
31		simplll 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑉 ∈ LMod)
32		eldifi 4079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
33		prjspertr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
34	32, 33	eleq2s 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
35	17, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
36		eqid 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
37		prjspertr.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
38	36, 22, 37, 20, 21	lmodvsass 20927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
39	31, 25, 26, 35, 38	syl13anc 1387	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
40	29, 30, 39	3eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍))
41	19, 27, 40	rspcedvdw 3579	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ∃𝑜 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍))
42	1	prjsprel 43134	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑜 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍)))
43	13, 17, 41, 42	syl21anbrc 1354	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∼ 𝑍)
44	8, 43	rexlimddv 3163	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 ∼ 𝑍)
45	4, 44	rexlimddv 3163	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → 𝑋 ∼ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∃wrex 3080   ∖ cdif 3896  {csn 4576   class class class wbr 5094  {copab 5156  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  ._rcmulr 17263  Scalarcsca 17265   ·_𝑠 cvsca 17266  0_gc0g 17444  Ringcrg 20255  LModclmod 20900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-plusg 17275  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-mgp 20163  df-ring 20257  df-lmod 20902

This theorem is referenced by:  prjsper  43138  0prjspn  43158