Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspertr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prjspertr 41034
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
prjspertr ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) β†’ 𝑋 ∼ 𝑍)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙   𝑍,𝑙,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑙)
Proof of Theorem prjspertr
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . . 5 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
21prjsprel 41033 . . . 4 (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
32simprbi 497 . . 3 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
43ad2antrl 726 . 2 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
5 simplrr 776 . . . 4 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∼ 𝑍)
61prjsprel 41033 . . . . 5 (π‘Œ ∼ 𝑍 ↔ ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍)))
76simprbi 497 . . . 4 (π‘Œ ∼ 𝑍 β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))
85, 7syl 17 . . 3 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))
9 simplrl 775 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ ((π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍)))) β†’ 𝑋 ∼ π‘Œ)
109anassrs 468 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑋 ∼ π‘Œ)
11 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
122, 11sylbi 216 . . . . 5 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1310, 12syl 17 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
145adantr 481 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ π‘Œ ∼ 𝑍)
15 simplr 767 . . . . . 6 (((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
166, 15sylbi 216 . . . . 5 (π‘Œ ∼ 𝑍 β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
18 prjspertr.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
1918lmodring 20401 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
2019ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
21 simplrl 775 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ π‘š ∈ 𝐾)
22 simprl 769 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑛 ∈ 𝐾)
23 prjspertr.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
24 eqid 2731 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
2523, 24ringcl 20010 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ 𝐾) β†’ (π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) ∈ 𝐾)
2620, 21, 22, 25syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ (π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) ∈ 𝐾)
27 oveq1 7384 . . . . . . 7 (π‘œ = (π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) β†’ (π‘œ Β· 𝑍) = ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍))
2827eqeq2d 2742 . . . . . 6 (π‘œ = (π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) β†’ (𝑋 = (π‘œ Β· 𝑍) ↔ 𝑋 = ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍)))
2928adantl 482 . . . . 5 (((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) ∧ π‘œ = (π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛)) β†’ (𝑋 = (π‘œ Β· 𝑍) ↔ 𝑋 = ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍)))
30 simprr 771 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))
3130oveq2d 7393 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (π‘š Β· (𝑛 Β· 𝑍)))
32 simplrr 776 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
33 simplll 773 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
34 eldifi 4106 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
35 prjspertr.b . . . . . . . . 9 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
3634, 35eleq2s 2850 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ 𝐡 β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
3717, 36syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
38 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
39 prjspertr.x . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
4038, 18, 39, 23, 24lmodvsass 20419 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))) β†’ ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍) = (π‘š Β· (𝑛 Β· 𝑍)))
4133, 21, 22, 37, 40syl13anc 1372 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍) = (π‘š Β· (𝑛 Β· 𝑍)))
4231, 32, 413eqtr4d 2781 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑋 = ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍))
4326, 29, 42rspcedvd 3597 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘œ Β· 𝑍))
441prjsprel 41033 . . . 4 (𝑋 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘œ Β· 𝑍)))
4513, 17, 43, 44syl21anbrc 1344 . . 3 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑋 ∼ 𝑍)
468, 45rexlimddv 3160 . 2 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∼ 𝑍)
474, 46rexlimddv 3160 1 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) β†’ 𝑋 ∼ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3925  {csn 4606   class class class wbr 5125  {copab 5187  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  .rcmulr 17163  Scalarcsca 17165   ·𝑠 cvsca 17166  0gc0g 17350  Ringcrg 19993  LModclmod 20393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-plusg 17175  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-mgp 19926  df-ring 19995  df-lmod 20395
This theorem is referenced by:  prjsper  41037  0prjspn  41057
  Copyright terms: Public domain W3C validator