Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspertr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspertr 40021
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjspertr ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) → 𝑋 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑍,𝑙,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspertr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . . 5 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21prjsprel 40020 . . . 4 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
32simprbi 500 . . 3 (𝑋 𝑌 → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
43ad2antrl 728 . 2 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5 simplrr 778 . . . 4 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌 𝑍)
61prjsprel 40020 . . . . 5 (𝑌 𝑍 ↔ ((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))
76simprbi 500 . . . 4 (𝑌 𝑍 → ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
85, 7syl 17 . . 3 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
9 simplrl 777 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ ((𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))) → 𝑋 𝑌)
109anassrs 471 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 𝑌)
11 simpll 767 . . . . . 6 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋𝐵)
122, 11sylbi 220 . . . . 5 (𝑋 𝑌𝑋𝐵)
1310, 12syl 17 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋𝐵)
145adantr 484 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 𝑍)
15 simplr 769 . . . . . 6 (((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)) → 𝑍𝐵)
166, 15sylbi 220 . . . . 5 (𝑌 𝑍𝑍𝐵)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍𝐵)
18 prjspertr.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
1918lmodring 19761 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
2019ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑆 ∈ Ring)
21 simplrl 777 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑚𝐾)
22 simprl 771 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑛𝐾)
23 prjspertr.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
24 eqid 2738 . . . . . . 7 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2523, 24ringcl 19433 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑚𝐾𝑛𝐾) → (𝑚(.r𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
2620, 21, 22, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚(.r𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
27 oveq1 7177 . . . . . . 7 (𝑜 = (𝑚(.r𝑆)𝑛) → (𝑜 · 𝑍) = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍))
2827eqeq2d 2749 . . . . . 6 (𝑜 = (𝑚(.r𝑆)𝑛) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍)))
2928adantl 485 . . . . 5 (((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) ∧ 𝑜 = (𝑚(.r𝑆)𝑛)) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍)))
30 simprr 773 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
3130oveq2d 7186 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚 · 𝑌) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
32 simplrr 778 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
33 simplll 775 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑉 ∈ LMod)
34 eldifi 4017 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
35 prjspertr.b . . . . . . . . 9 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
3634, 35eleq2s 2851 . . . . . . . 8 (𝑍𝐵𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
3717, 36syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
38 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
39 prjspertr.x . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑉)
4038, 18, 39, 23, 24lmodvsass 19778 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑚𝐾𝑛𝐾𝑍 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
4133, 21, 22, 37, 40syl13anc 1373 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
4231, 32, 413eqtr4d 2783 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍))
4326, 29, 42rspcedvd 3529 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ∃𝑜𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍))
441prjsprel 40020 . . . 4 (𝑋 𝑍 ↔ ((𝑋𝐵𝑍𝐵) ∧ ∃𝑜𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍)))
4513, 17, 43, 44syl21anbrc 1345 . . 3 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 𝑍)
468, 45rexlimddv 3201 . 2 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 𝑍)
474, 46rexlimddv 3201 1 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) → 𝑋 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3054  cdif 3840  {csn 4516   class class class wbr 5030  {copab 5092  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  .rcmulr 16669  Scalarcsca 16671   ·𝑠 cvsca 16672  0gc0g 16816  Ringcrg 19416  LModclmod 19753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-plusg 16681  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mgp 19359  df-ring 19418  df-lmod 19755
This theorem is referenced by:  prjsper  40024  0prjspn  40042
  Copyright terms: Public domain W3C validator