Theorem prjspertr 40444

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspertr	⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → 𝑋 ∼ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑍,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspertr

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	prjsprel 40443	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3	2	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
4	3	ad2antrl 725	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5		simplrr 775	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌 ∼ 𝑍)
6	1	prjsprel 40443	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))
7	6	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
9		simplrl 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))) → 𝑋 ∼ 𝑌)
10	9	anassrs 468	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∼ 𝑌)
11		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	2, 11	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 ∼ 𝑍)
15		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
16	6, 15	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18		prjspertr.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
19	18	lmodring 20131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
20	19	ad3antrrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑆 ∈ Ring)
21		simplrl 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑚 ∈ 𝐾)
22		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑛 ∈ 𝐾)
23		prjspertr.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
25	23, 24	ringcl 19800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ 𝐾) → (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
26	20, 21, 22, 25	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
27		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) → (𝑜 · 𝑍) = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍))
28	27	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍)))
29	28	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) ∧ 𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛)) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍)))
30		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
31	30	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚 · 𝑌) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
32		simplrr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
33		simplll 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑉 ∈ LMod)
34		eldifi 4061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
35		prjspertr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
36	34, 35	eleq2s 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
37	17, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
38		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
39		prjspertr.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
40	38, 18, 39, 23, 24	lmodvsass 20148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
41	33, 21, 22, 37, 40	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
42	31, 32, 41	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍))
43	26, 29, 42	rspcedvd 3563	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ∃𝑜 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍))
44	1	prjsprel 40443	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑜 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍)))
45	13, 17, 43, 44	syl21anbrc 1343	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∼ 𝑍)
46	8, 45	rexlimddv 3220	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 ∼ 𝑍)
47	4, 46	rexlimddv 3220	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → 𝑋 ∼ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  {copab 5136  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783  LModclmod 20123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-lmod 20125

This theorem is referenced by:  prjsper  40447  0prjspn  40465