Theorem prjspertr 43199

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspertr	⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → 𝑋 ∼ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑍,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspertr

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	prjsprel 43198	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3	2	simprbi 502	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
4	3	ad2antrl 740	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5		simplrr 789	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌 ∼ 𝑍)
6	1	prjsprel 43198	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))
7	6	simprbi 502	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
8	5, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
9		simplrl 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))) → 𝑋 ∼ 𝑌)
10	9	anassrs 472	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∼ 𝑌)
11		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	2, 11	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 ∼ 𝑍)
15		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
16	6, 15	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18		oveq1 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) → (𝑜 · 𝑍) = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍))
19	18	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍)))
20		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
21		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
22		prjspertr.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
23	22	lmodring 20958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
24	23	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑆 ∈ Ring)
25		simplrl 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑚 ∈ 𝐾)
26		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑛 ∈ 𝐾)
27	20, 21, 24, 25, 26	ringcld 20333	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
28		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
29	28	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚 · 𝑌) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
30		simplrr 789	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
31		simplll 786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑉 ∈ LMod)
32		eldifi 4087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
33		prjspertr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
34	32, 33	eleq2s 2883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
35	17, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
36		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
37		prjspertr.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
38	36, 22, 37, 20, 21	lmodvsass 20977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
39	31, 25, 26, 35, 38	syl13anc 1395	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
40	29, 30, 39	3eqtr4d 2810	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍))
41	19, 27, 40	rspcedvdw 3587	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ∃𝑜 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍))
42	1	prjsprel 43198	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑜 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍)))
43	13, 17, 41, 42	syl21anbrc 1361	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∼ 𝑍)
44	8, 43	rexlimddv 3172	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 ∼ 𝑍)
45	4, 44	rexlimddv 3172	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → 𝑋 ∼ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904  {csn 4585   class class class wbr 5105  {copab 5167  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  0_gc0g 17482  Ringcrg 20306  LModclmod 20950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mgp 20208  df-ring 20308  df-lmod 20952

This theorem is referenced by:  prjsper  43202  0prjspn  43222