Theorem prjspertr 43056

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspertr	⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → 𝑋 ∼ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑍,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspertr

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	prjsprel 43055	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3	2	simprbi 498	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
4	3	ad2antrl 734	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5		simplrr 783	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌 ∼ 𝑍)
6	1	prjsprel 43055	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))
7	6	simprbi 498	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
9		simplrl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))) → 𝑋 ∼ 𝑌)
10	9	anassrs 468	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∼ 𝑌)
11		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	2, 11	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 ∼ 𝑍)
15		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
16	6, 15	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18		oveq1 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) → (𝑜 · 𝑍) = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍))
19	18	eqeq2d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍)))
20		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
21		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
22		prjspertr.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
23	22	lmodring 20865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
24	23	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑆 ∈ Ring)
25		simplrl 782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑚 ∈ 𝐾)
26		simprl 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑛 ∈ 𝐾)
27	20, 21, 24, 25, 26	ringcld 20239	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
28		simprr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
29	28	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚 · 𝑌) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
30		simplrr 783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
31		simplll 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑉 ∈ LMod)
32		eldifi 4068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
33		prjspertr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
34	32, 33	eleq2s 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
35	17, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
36		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
37		prjspertr.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
38	36, 22, 37, 20, 21	lmodvsass 20884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
39	31, 25, 26, 35, 38	syl13anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
40	29, 30, 39	3eqtr4d 2785	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍))
41	19, 27, 40	rspcedvdw 3570	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ∃𝑜 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍))
42	1	prjsprel 43055	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑜 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍)))
43	13, 17, 41, 42	syl21anbrc 1351	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∼ 𝑍)
44	8, 43	rexlimddv 3147	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 ∼ 𝑍)
45	4, 44	rexlimddv 3147	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → 𝑋 ∼ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3887  {csn 4562   class class class wbr 5079  {copab 5141  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400  Ringcrg 20212  LModclmod 20857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mgp 20120  df-ring 20214  df-lmod 20859

This theorem is referenced by:  prjsper  43059  0prjspn  43079