Theorem prjspertr 42592

Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspertr	⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → 𝑋 ∼ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑍,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspertr

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	prjsprel 42591	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
3	2	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
4	3	ad2antrl 728	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5		simplrr 778	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌 ∼ 𝑍)
6	1	prjsprel 42591	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))
7	6	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
9		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))) → 𝑋 ∼ 𝑌)
10	9	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∼ 𝑌)
11		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	2, 11	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑌 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 ∼ 𝑍)
15		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
16	6, 15	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∼ 𝑍 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) → (𝑜 · 𝑍) = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍))
19	18	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍)))
20		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
21		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
22		prjspertr.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
23	22	lmodring 20883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
24	23	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑆 ∈ Ring)
25		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑚 ∈ 𝐾)
26		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑛 ∈ 𝐾)
27	20, 21, 24, 25, 26	ringcld 20277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚(.r‘𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
28		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
29	28	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚 · 𝑌) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
30		simplrr 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
31		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑉 ∈ LMod)
32		eldifi 4141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
33		prjspertr.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
34	32, 33	eleq2s 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
35	17, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
36		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
37		prjspertr.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
38	36, 22, 37, 20, 21	lmodvsass 20902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
39	31, 25, 26, 35, 38	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
40	29, 30, 39	3eqtr4d 2785	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = ((𝑚(.r‘𝑆)𝑛) · 𝑍))
41	19, 27, 40	rspcedvdw 3625	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ∃𝑜 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍))
42	1	prjsprel 42591	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑜 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍)))
43	13, 17, 41, 42	syl21anbrc 1343	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 ∼ 𝑍)
44	8, 43	rexlimddv 3159	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) ∧ (𝑚 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 ∼ 𝑍)
45	4, 44	rexlimddv 3159	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ 𝑌 ∧ 𝑌 ∼ 𝑍)) → 𝑋 ∼ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  {copab 5210  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  Ringcrg 20251  LModclmod 20875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mgp 20153  df-ring 20253  df-lmod 20877

This theorem is referenced by:  prjsper  42595  0prjspn  42615