Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspertr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspertr 40444
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjspertr ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) → 𝑋 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑍,𝑙,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspertr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . . 5 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21prjsprel 40443 . . . 4 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
32simprbi 497 . . 3 (𝑋 𝑌 → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
43ad2antrl 725 . 2 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5 simplrr 775 . . . 4 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌 𝑍)
61prjsprel 40443 . . . . 5 (𝑌 𝑍 ↔ ((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))
76simprbi 497 . . . 4 (𝑌 𝑍 → ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
85, 7syl 17 . . 3 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
9 simplrl 774 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ ((𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))) → 𝑋 𝑌)
109anassrs 468 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 𝑌)
11 simpll 764 . . . . . 6 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋𝐵)
122, 11sylbi 216 . . . . 5 (𝑋 𝑌𝑋𝐵)
1310, 12syl 17 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋𝐵)
145adantr 481 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 𝑍)
15 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)) → 𝑍𝐵)
166, 15sylbi 216 . . . . 5 (𝑌 𝑍𝑍𝐵)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍𝐵)
18 prjspertr.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
1918lmodring 20131 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
2019ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑆 ∈ Ring)
21 simplrl 774 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑚𝐾)
22 simprl 768 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑛𝐾)
23 prjspertr.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
24 eqid 2738 . . . . . . 7 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2523, 24ringcl 19800 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑚𝐾𝑛𝐾) → (𝑚(.r𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
2620, 21, 22, 25syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚(.r𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
27 oveq1 7282 . . . . . . 7 (𝑜 = (𝑚(.r𝑆)𝑛) → (𝑜 · 𝑍) = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍))
2827eqeq2d 2749 . . . . . 6 (𝑜 = (𝑚(.r𝑆)𝑛) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍)))
2928adantl 482 . . . . 5 (((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) ∧ 𝑜 = (𝑚(.r𝑆)𝑛)) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍)))
30 simprr 770 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
3130oveq2d 7291 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚 · 𝑌) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
32 simplrr 775 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
33 simplll 772 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑉 ∈ LMod)
34 eldifi 4061 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
35 prjspertr.b . . . . . . . . 9 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
3634, 35eleq2s 2857 . . . . . . . 8 (𝑍𝐵𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
3717, 36syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
38 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
39 prjspertr.x . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑉)
4038, 18, 39, 23, 24lmodvsass 20148 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑚𝐾𝑛𝐾𝑍 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
4133, 21, 22, 37, 40syl13anc 1371 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
4231, 32, 413eqtr4d 2788 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍))
4326, 29, 42rspcedvd 3563 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ∃𝑜𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍))
441prjsprel 40443 . . . 4 (𝑋 𝑍 ↔ ((𝑋𝐵𝑍𝐵) ∧ ∃𝑜𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍)))
4513, 17, 43, 44syl21anbrc 1343 . . 3 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 𝑍)
468, 45rexlimddv 3220 . 2 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 𝑍)
474, 46rexlimddv 3220 1 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) → 𝑋 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  {copab 5136  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  .rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  0gc0g 17150  Ringcrg 19783  LModclmod 20123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-lmod 20125
This theorem is referenced by:  prjsper  40447  0prjspn  40465
  Copyright terms: Public domain W3C validator