Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspertr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspertr 42615
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjspertr ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) → 𝑋 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝑌,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑍,𝑙,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspertr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . . 5 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21prjsprel 42614 . . . 4 (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)))
32simprbi 496 . . 3 (𝑋 𝑌 → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
43ad2antrl 728 . 2 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) → ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
5 simplrr 778 . . . 4 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑌 𝑍)
61prjsprel 42614 . . . . 5 (𝑌 𝑍 ↔ ((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))
76simprbi 496 . . . 4 (𝑌 𝑍 → ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
85, 7syl 17 . . 3 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
9 simplrl 777 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ ((𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍)))) → 𝑋 𝑌)
109anassrs 467 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 𝑌)
11 simpll 767 . . . . . 6 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 𝑋 = (𝑚 · 𝑌)) → 𝑋𝐵)
122, 11sylbi 217 . . . . 5 (𝑋 𝑌𝑋𝐵)
1310, 12syl 17 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋𝐵)
145adantr 480 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 𝑍)
15 simplr 769 . . . . . 6 (((𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ∃𝑛𝐾 𝑌 = (𝑛 · 𝑍)) → 𝑍𝐵)
166, 15sylbi 217 . . . . 5 (𝑌 𝑍𝑍𝐵)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍𝐵)
18 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑜 = (𝑚(.r𝑆)𝑛) → (𝑜 · 𝑍) = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍))
1918eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑜 = (𝑚(.r𝑆)𝑛) → (𝑋 = (𝑜 · 𝑍) ↔ 𝑋 = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍)))
20 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
21 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
22 prjspertr.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
2322lmodring 20866 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
2423ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑆 ∈ Ring)
25 simplrl 777 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑚𝐾)
26 simprl 771 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑛𝐾)
2720, 21, 24, 25, 26ringcld 20257 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚(.r𝑆)𝑛) ∈ 𝐾)
28 simprr 773 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑌 = (𝑛 · 𝑍))
2928oveq2d 7447 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → (𝑚 · 𝑌) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
30 simplrr 778 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = (𝑚 · 𝑌))
31 simplll 775 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑉 ∈ LMod)
32 eldifi 4131 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
33 prjspertr.b . . . . . . . . 9 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
3432, 33eleq2s 2859 . . . . . . . 8 (𝑍𝐵𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
3517, 34syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑉))
36 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
37 prjspertr.x . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑉)
3836, 22, 37, 20, 21lmodvsass 20885 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑚𝐾𝑛𝐾𝑍 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
3931, 25, 26, 35, 38syl13anc 1374 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍) = (𝑚 · (𝑛 · 𝑍)))
4029, 30, 393eqtr4d 2787 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 = ((𝑚(.r𝑆)𝑛) · 𝑍))
4119, 27, 40rspcedvdw 3625 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → ∃𝑜𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍))
421prjsprel 42614 . . . 4 (𝑋 𝑍 ↔ ((𝑋𝐵𝑍𝐵) ∧ ∃𝑜𝐾 𝑋 = (𝑜 · 𝑍)))
4313, 17, 41, 42syl21anbrc 1345 . . 3 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) ∧ (𝑛𝐾𝑌 = (𝑛 · 𝑍))) → 𝑋 𝑍)
448, 43rexlimddv 3161 . 2 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) ∧ (𝑚𝐾𝑋 = (𝑚 · 𝑌))) → 𝑋 𝑍)
454, 44rexlimddv 3161 1 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑍)) → 𝑋 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  {copab 5205  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  LModclmod 20858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mgp 20138  df-ring 20232  df-lmod 20860
This theorem is referenced by:  prjsper  42618  0prjspn  42638
  Copyright terms: Public domain W3C validator