Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspertr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prjspertr 41649
Description: The relation in ℙ𝕣𝕠𝕛 is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
prjspertr ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) β†’ 𝑋 ∼ 𝑍)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,π‘Œ,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙   𝑍,𝑙,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑙)
Proof of Theorem prjspertr
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . . 5 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
21prjsprel 41648 . . . 4 (𝑋 ∼ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)))
32simprbi 495 . . 3 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
43ad2antrl 724 . 2 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
5 simplrr 774 . . . 4 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∼ 𝑍)
61prjsprel 41648 . . . . 5 (π‘Œ ∼ 𝑍 ↔ ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍)))
76simprbi 495 . . . 4 (π‘Œ ∼ 𝑍 β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))
85, 7syl 17 . . 3 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))
9 simplrl 773 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ ((π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍)))) β†’ 𝑋 ∼ π‘Œ)
109anassrs 466 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑋 ∼ π‘Œ)
11 simpll 763 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
122, 11sylbi 216 . . . . 5 (𝑋 ∼ π‘Œ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1310, 12syl 17 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
145adantr 479 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ π‘Œ ∼ 𝑍)
15 simplr 765 . . . . . 6 (((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝐾 π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
166, 15sylbi 216 . . . . 5 (π‘Œ ∼ 𝑍 β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
18 prjspertr.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
1918lmodring 20622 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
2019ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
21 simplrl 773 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ π‘š ∈ 𝐾)
22 simprl 767 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑛 ∈ 𝐾)
23 prjspertr.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
24 eqid 2730 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
2523, 24ringcl 20144 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ 𝐾) β†’ (π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) ∈ 𝐾)
2620, 21, 22, 25syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ (π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) ∈ 𝐾)
27 oveq1 7418 . . . . . . 7 (π‘œ = (π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) β†’ (π‘œ Β· 𝑍) = ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍))
2827eqeq2d 2741 . . . . . 6 (π‘œ = (π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) β†’ (𝑋 = (π‘œ Β· 𝑍) ↔ 𝑋 = ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍)))
2928adantl 480 . . . . 5 (((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) ∧ π‘œ = (π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛)) β†’ (𝑋 = (π‘œ Β· 𝑍) ↔ 𝑋 = ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍)))
30 simprr 769 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))
3130oveq2d 7427 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ (π‘š Β· π‘Œ) = (π‘š Β· (𝑛 Β· 𝑍)))
32 simplrr 774 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))
33 simplll 771 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
34 eldifi 4125 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
35 prjspertr.b . . . . . . . . 9 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
3634, 35eleq2s 2849 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ 𝐡 β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
3717, 36syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
38 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
39 prjspertr.x . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
4038, 18, 39, 23, 24lmodvsass 20641 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))) β†’ ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍) = (π‘š Β· (𝑛 Β· 𝑍)))
4133, 21, 22, 37, 40syl13anc 1370 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍) = (π‘š Β· (𝑛 Β· 𝑍)))
4231, 32, 413eqtr4d 2780 . . . . 5 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑋 = ((π‘š(.rβ€˜π‘†)𝑛) Β· 𝑍))
4326, 29, 42rspcedvd 3613 . . . 4 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘œ Β· 𝑍))
441prjsprel 41648 . . . 4 (𝑋 ∼ 𝑍 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘œ Β· 𝑍)))
4513, 17, 43, 44syl21anbrc 1342 . . 3 ((((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) ∧ (𝑛 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ = (𝑛 Β· 𝑍))) β†’ 𝑋 ∼ 𝑍)
468, 45rexlimddv 3159 . 2 (((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) ∧ (π‘š ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = (π‘š Β· π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∼ 𝑍)
474, 46rexlimddv 3159 1 ((𝑉 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∼ π‘Œ ∧ π‘Œ ∼ 𝑍)) β†’ 𝑋 ∼ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  {copab 5209  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  Ringcrg 20127  LModclmod 20614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20029  df-ring 20129  df-lmod 20616
This theorem is referenced by:  prjsper  41652  0prjspn  41672
  Copyright terms: Public domain W3C validator