MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnullss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnullss 5345
Description: A nonempty class (even if proper) has a nonempty subset. (Contributed by NM, 23-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
nnullss (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nnullss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4307 . 2 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
2 vex 3495 . . . . 5 𝑦 ∈ V
32snss 4710 . . . 4 (𝑦𝐴 ↔ {𝑦} ⊆ 𝐴)
42snnz 4703 . . . . 5 {𝑦} ≠ ∅
5 snex 5322 . . . . . 6 {𝑦} ∈ V
6 sseq1 3989 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥𝐴 ↔ {𝑦} ⊆ 𝐴))
7 neeq1 3075 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≠ ∅ ↔ {𝑦} ≠ ∅))
86, 7anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ↔ ({𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑦} ≠ ∅)))
95, 8spcev 3604 . . . . 5 (({𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑦} ≠ ∅) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅))
104, 9mpan2 687 . . . 4 ({𝑦} ⊆ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅))
113, 10sylbi 218 . . 3 (𝑦𝐴 → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅))
1211exlimiv 1922 . 2 (∃𝑦 𝑦𝐴 → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅))
131, 12sylbi 218 1 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wss 3933  c0 4288  {csn 4557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-sn 4558  df-pr 4560
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator