Theorem nnullss 5430

Description: A nonempty class (even if proper) has a nonempty subset. (Contributed by NM, 23-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
nnullss	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nnullss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4300	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
2		vex 3455	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	snss 4745	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ {𝑦} ⊆ 𝐴)
4	2	snnz 4737	. . . . 5 ⊢ {𝑦} ≠ ∅
5		vsnex 5393	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ V
6		sseq1 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ {𝑦} ⊆ 𝐴))
7		neeq1 3018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≠ ∅ ↔ {𝑦} ≠ ∅))
8	6, 7	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ↔ ({𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑦} ≠ ∅)))
9	5, 8	spcev 3561	. . . . 5 ⊢ (({𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑦} ≠ ∅) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
10	4, 9	mpan2 704	. . . 4 ⊢ ({𝑦} ⊆ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
11	3, 10	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
12	11	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
13	1, 12	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-sn 4585  df-pr 4587

This theorem is used by: (None)