Theorem nnullss 5319

Description: A nonempty class (even if proper) has a nonempty subset. (Contributed by NM, 23-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
nnullss	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nnullss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4260	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
2		vex 3444	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	snss 4679	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ {𝑦} ⊆ 𝐴)
4	2	snnz 4672	. . . . 5 ⊢ {𝑦} ≠ ∅
5		snex 5297	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ V
6		sseq1 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ {𝑦} ⊆ 𝐴))
7		neeq1 3049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≠ ∅ ↔ {𝑦} ≠ ∅))
8	6, 7	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ↔ ({𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑦} ≠ ∅)))
9	5, 8	spcev 3555	. . . . 5 ⊢ (({𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑦} ≠ ∅) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
10	4, 9	mpan2 690	. . . 4 ⊢ ({𝑦} ⊆ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
11	3, 10	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
12	11	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
13	1, 12	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-ne 2988  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528

This theorem is referenced by: (None)