Theorem ralrp 13027

Description: Quantification over positive reals. (Contributed by NM, 12-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
ralrp	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝜑))

Proof of Theorem ralrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 13008	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
2	1	imbi1i 349	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ → 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑))
3		impexp 450	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 𝜑)))
4	2, 3	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 𝜑)))
5	4	ralbii2 3078	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   class class class wbr 5119  ℝcr 11126  0cc0 11127   < clt 11267  ℝ⁺crp 13006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-rp 13007

This theorem is referenced by: (None)