Theorem ralrp 12904

Description: Quantification over positive reals. (Contributed by NM, 12-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
ralrp	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝜑))

Proof of Theorem ralrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 12884	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
2	1	imbi1i 349	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ → 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑))
3		impexp 450	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 𝜑)))
4	2, 3	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 𝜑)))
5	4	ralbii2 3072	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045   class class class wbr 5089  ℝcr 10997  0cc0 10998   < clt 11138  ℝ⁺crp 12882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-br 5090  df-rp 12883

This theorem is referenced by: (None)