![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 130 of 480) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30435) |
![]() (30436-31958) |
![]() (31959-47941) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | uzwo2 12901* | Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) |
โข ((๐ โ (โคโฅโ๐) โง ๐ โ โ ) โ โ!๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ ๐ โค ๐) | ||
Theorem | nnwo 12902* | Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element. Theorem I.37 (well-ordering principle) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ ) โ โ๐ฅ โ ๐ด โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฅ โค ๐ฆ) | ||
Theorem | nnwof 12903* | Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element. This version allows ๐ฅ and ๐ฆ to be present in ๐ด as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.) |
โข โฒ๐ฅ๐ด & โข โฒ๐ฆ๐ด โ โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ ) โ โ๐ฅ โ ๐ด โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฅ โค ๐ฆ) | ||
Theorem | nnwos 12904* | Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) |
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) โ โข (โ๐ฅ โ โ ๐ โ โ๐ฅ โ โ (๐ โง โ๐ฆ โ โ (๐ โ ๐ฅ โค ๐ฆ))) | ||
Theorem | indstr 12905* | Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) |
โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ โ โ โ (โ๐ฆ โ โ (๐ฆ < ๐ฅ โ ๐) โ ๐)) โ โข (๐ฅ โ โ โ ๐) | ||
Theorem | eluznn0 12906 | Membership in a nonnegative upper set of integers implies membership in โ0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ โ โ0) | ||
Theorem | eluznn 12907 | Membership in a positive upper set of integers implies membership in โ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ โ โ) | ||
Theorem | eluz2b1 12908 | Two ways to say "an integer greater than or equal to 2". (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.) |
โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ (๐ โ โค โง 1 < ๐)) | ||
Theorem | eluz2gt1 12909 | An integer greater than or equal to 2 is greater than 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.) |
โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ 1 < ๐) | ||
Theorem | eluz2b2 12910 | Two ways to say "an integer greater than or equal to 2". (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.) |
โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ (๐ โ โ โง 1 < ๐)) | ||
Theorem | eluz2b3 12911 | Two ways to say "an integer greater than or equal to 2". (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.) |
โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ (๐ โ โ โง ๐ โ 1)) | ||
Theorem | uz2m1nn 12912 | One less than an integer greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) |
โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ (๐ โ 1) โ โ) | ||
Theorem | 1nuz2 12913 | 1 is not in (โคโฅโ2). (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.) |
โข ยฌ 1 โ (โคโฅโ2) | ||
Theorem | elnn1uz2 12914 | A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ = 1 โจ ๐ โ (โคโฅโ2))) | ||
Theorem | uz2mulcl 12915 | Closure of multiplication of integers greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) |
โข ((๐ โ (โคโฅโ2) โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ (๐ ยท ๐) โ (โคโฅโ2)) | ||
Theorem | indstr2 12916* | Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.) |
โข (๐ฅ = 1 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฅ โ (โคโฅโ2) โ (โ๐ฆ โ โ (๐ฆ < ๐ฅ โ ๐) โ ๐)) โ โข (๐ฅ โ โ โ ๐) | ||
Theorem | uzinfi 12917 | Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. (Contributed by NM, 7-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.) |
โข ๐ โ โค โ โข inf((โคโฅโ๐), โ, < ) = ๐ | ||
Theorem | nninf 12918 | The infimum of the set of positive integers is one. (Contributed by NM, 16-Jun-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.) |
โข inf(โ, โ, < ) = 1 | ||
Theorem | nn0inf 12919 | The infimum of the set of nonnegative integers is zero. (Contributed by NM, 16-Jun-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.) |
โข inf(โ0, โ, < ) = 0 | ||
Theorem | infssuzle 12920 | The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ (โคโฅโ๐) โง ๐ด โ ๐) โ inf(๐, โ, < ) โค ๐ด) | ||
Theorem | infssuzcl 12921 | The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.) |
โข ((๐ โ (โคโฅโ๐) โง ๐ โ โ ) โ inf(๐, โ, < ) โ ๐) | ||
Theorem | ublbneg 12922* | The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฆ โค ๐ฅ โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ {๐ง โ โ โฃ -๐ง โ ๐ด}๐ฅ โค ๐ฆ) | ||
Theorem | eqreznegel 12923* | Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (๐ด โ โค โ {๐ง โ โ โฃ -๐ง โ ๐ด} = {๐ง โ โค โฃ -๐ง โ ๐ด}) | ||
Theorem | supminf 12924* | The supremum of a bounded-above set of reals is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) ( Revised by AV, 13-Sep-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ โ โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฆ โค ๐ฅ) โ sup(๐ด, โ, < ) = -inf({๐ง โ โ โฃ -๐ง โ ๐ด}, โ, < )) | ||
Theorem | lbzbi 12925* | If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
โข (๐ด โ โ โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฅ โค ๐ฆ โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฅ โค ๐ฆ)) | ||
Theorem | zsupss 12926* | Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 11191.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ โ โง โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฆ โค ๐ฅ) โ โ๐ฅ โ ๐ด (โ๐ฆ โ ๐ด ยฌ ๐ฅ < ๐ฆ โง โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฆ < ๐ฅ โ โ๐ง โ ๐ด ๐ฆ < ๐ง))) | ||
Theorem | suprzcl2 12927* | The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (This version of suprzcl 12647 avoids ax-pre-sup 11191.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ โ โง โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฆ โค ๐ฅ) โ sup(๐ด, โ, < ) โ ๐ด) | ||
Theorem | suprzub 12928* | The supremum of a bounded-above set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) |
โข ((๐ด โ โค โง โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฆ โค ๐ฅ โง ๐ต โ ๐ด) โ ๐ต โค sup(๐ด, โ, < )) | ||
Theorem | uzsupss 12929* | Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) |
โข ๐ = (โคโฅโ๐) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ด โ ๐ โง โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฆ โค ๐ฅ) โ โ๐ฅ โ ๐ (โ๐ฆ โ ๐ด ยฌ ๐ฅ < ๐ฆ โง โ๐ฆ โ ๐ (๐ฆ < ๐ฅ โ โ๐ง โ ๐ด ๐ฆ < ๐ง))) | ||
Theorem | nn01to3 12930 | A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.) |
โข ((๐ โ โ0 โง 1 โค ๐ โง ๐ โค 3) โ (๐ = 1 โจ ๐ = 2 โจ ๐ = 3)) | ||
Theorem | nn0ge2m1nnALT 12931 | Alternate proof of nn0ge2m1nn 12546: If a nonnegative integer is greater than or equal to two, the integer decreased by 1 is a positive integer. This version is proved using eluz2 12833, a theorem for upper sets of integers, which are defined later than the positive and nonnegative integers. This proof is, however, much shorter than the proof of nn0ge2m1nn 12546. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) |
โข ((๐ โ โ0 โง 2 โค ๐) โ (๐ โ 1) โ โ) | ||
Theorem | uzwo3 12932* | Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 12901 allows the lower bound ๐ต to be any real number. See also nnwo 12902 and nnwos 12904. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.) |
โข ((๐ต โ โ โง (๐ด โ {๐ง โ โค โฃ ๐ต โค ๐ง} โง ๐ด โ โ )) โ โ!๐ฅ โ ๐ด โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฅ โค ๐ฆ) | ||
Theorem | zmin 12933* | There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ โ!๐ฅ โ โค (๐ด โค ๐ฅ โง โ๐ฆ โ โค (๐ด โค ๐ฆ โ ๐ฅ โค ๐ฆ))) | ||
Theorem | zmax 12934* | There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) |
โข (๐ด โ โ โ โ!๐ฅ โ โค (๐ฅ โค ๐ด โง โ๐ฆ โ โค (๐ฆ โค ๐ด โ ๐ฆ โค ๐ฅ))) | ||
Theorem | zbtwnre 12935* | There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.) |
โข (๐ด โ โ โ โ!๐ฅ โ โค (๐ด โค ๐ฅ โง ๐ฅ < (๐ด + 1))) | ||
Theorem | rebtwnz 12936* | There is a unique greatest integer less than or equal to a real number. Exercise 4 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) |
โข (๐ด โ โ โ โ!๐ฅ โ โค (๐ฅ โค ๐ด โง ๐ด < (๐ฅ + 1))) | ||
Syntax | cq 12937 | Extend class notation to include the class of rationals. |
class โ | ||
Definition | df-q 12938 | Define the set of rational numbers. Based on definition of rationals in [Apostol] p. 22. See elq 12939 for the relation "is rational". (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) |
โข โ = ( / โ (โค ร โ)) | ||
Theorem | elq 12939* | Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ)) | ||
Theorem | qmulz 12940* | If ๐ด is rational, then some integer multiple of it is an integer. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ด ยท ๐ฅ) โ โค) | ||
Theorem | znq 12941 | The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | qre 12942 | A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | zq 12943 | An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 23-Mar-2023.) |
โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | qred 12944 | A rational number is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | zssq 12945 | The integers are a subset of the rationals. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) |
โข โค โ โ | ||
Theorem | nn0ssq 12946 | The nonnegative integers are a subset of the rationals. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) |
โข โ0 โ โ | ||
Theorem | nnssq 12947 | The positive integers are a subset of the rationals. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) |
โข โ โ โ | ||
Theorem | qssre 12948 | The rationals are a subset of the reals. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) |
โข โ โ โ | ||
Theorem | qsscn 12949 | The rationals are a subset of the complex numbers. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) |
โข โ โ โ | ||
Theorem | qex 12950 | The set of rational numbers exists. See also qexALT 12953. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) |
โข โ โ V | ||
Theorem | nnq 12951 | A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | qcn 12952 | A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | qexALT 12953 | Alternate proof of qex 12950. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข โ โ V | ||
Theorem | qaddcl 12954 | Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด + ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | qnegcl 12955 | Closure law for the negative of a rational. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ -๐ด โ โ) | ||
Theorem | qmulcl 12956 | Closure of multiplication of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | qsubcl 12957 | Closure of subtraction of rationals. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โ ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | qreccl 12958 | Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โ (1 / ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | qdivcl 12959 | Closure of division of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | qrevaddcl 12960 | Reverse closure law for addition of rationals. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) |
โข (๐ต โ โ โ ((๐ด โ โ โง (๐ด + ๐ต) โ โ) โ ๐ด โ โ)) | ||
Theorem | nnrecq 12961 | The reciprocal of a positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) |
โข (๐ด โ โ โ (1 / ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | irradd 12962 | The sum of an irrational number and a rational number is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) |
โข ((๐ด โ (โ โ โ) โง ๐ต โ โ) โ (๐ด + ๐ต) โ (โ โ โ)) | ||
Theorem | irrmul 12963 | The product of an irrational with a nonzero rational is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) |
โข ((๐ด โ (โ โ โ) โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด ยท ๐ต) โ (โ โ โ)) | ||
Theorem | elpq 12964* | A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.) |
โข ((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ)) | ||
Theorem | elpqb 12965* | A class is a positive rational iff it is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 30-Dec-2022.) |
โข ((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ)) | ||
Theorem | rpnnen1lem2 12966* | Lemma for rpnnen1 12972. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) |
โข ๐ = {๐ โ โค โฃ (๐ / ๐) < ๐ฅ} & โข ๐น = (๐ฅ โ โ โฆ (๐ โ โ โฆ (sup(๐, โ, < ) / ๐))) โ โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ โ โ) โ sup(๐, โ, < ) โ โค) | ||
Theorem | rpnnen1lem1 12967* | Lemma for rpnnen1 12972. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.) |
โข ๐ = {๐ โ โค โฃ (๐ / ๐) < ๐ฅ} & โข ๐น = (๐ฅ โ โ โฆ (๐ โ โ โฆ (sup(๐, โ, < ) / ๐))) & โข โ โ V & โข โ โ V โ โข (๐ฅ โ โ โ (๐นโ๐ฅ) โ (โ โm โ)) | ||
Theorem | rpnnen1lem3 12968* | Lemma for rpnnen1 12972. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.) |
โข ๐ = {๐ โ โค โฃ (๐ / ๐) < ๐ฅ} & โข ๐น = (๐ฅ โ โ โฆ (๐ โ โ โฆ (sup(๐, โ, < ) / ๐))) & โข โ โ V & โข โ โ V โ โข (๐ฅ โ โ โ โ๐ โ ran (๐นโ๐ฅ)๐ โค ๐ฅ) | ||
Theorem | rpnnen1lem4 12969* | Lemma for rpnnen1 12972. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.) |
โข ๐ = {๐ โ โค โฃ (๐ / ๐) < ๐ฅ} & โข ๐น = (๐ฅ โ โ โฆ (๐ โ โ โฆ (sup(๐, โ, < ) / ๐))) & โข โ โ V & โข โ โ V โ โข (๐ฅ โ โ โ sup(ran (๐นโ๐ฅ), โ, < ) โ โ) | ||
Theorem | rpnnen1lem5 12970* | Lemma for rpnnen1 12972. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.) |
โข ๐ = {๐ โ โค โฃ (๐ / ๐) < ๐ฅ} & โข ๐น = (๐ฅ โ โ โฆ (๐ โ โ โฆ (sup(๐, โ, < ) / ๐))) & โข โ โ V & โข โ โ V โ โข (๐ฅ โ โ โ sup(ran (๐นโ๐ฅ), โ, < ) = ๐ฅ) | ||
Theorem | rpnnen1lem6 12971* | Lemma for rpnnen1 12972. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 15-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.) |
โข ๐ = {๐ โ โค โฃ (๐ / ๐) < ๐ฅ} & โข ๐น = (๐ฅ โ โ โฆ (๐ โ โ โฆ (sup(๐, โ, < ) / ๐))) & โข โ โ V & โข โ โ V โ โข โ โผ (โ โm โ) | ||
Theorem | rpnnen1 12972 | One half of rpnnen 16175, where we show an injection from the real numbers to sequences of rational numbers. Specifically, we map a real number ๐ฅ to the sequence (๐นโ๐ฅ):โโถโ (see rpnnen1lem6 12971) such that ((๐นโ๐ฅ)โ๐) is the largest rational number with denominator ๐ that is strictly less than ๐ฅ. In this manner, we get a monotonically increasing sequence that converges to ๐ฅ, and since each sequence converges to a unique real number, this mapping from reals to sequences of rational numbers is injective. Note: The โ and โ existence hypotheses provide for use with either nnex 12223 and qex 12950, or nnexALT 12219 and qexALT 12953. The proof should not be modified to use any of those 4 theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Revised by NM, 15-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.) |
โข โ โ V & โข โ โ V โ โข โ โผ (โ โm โ) | ||
Theorem | reexALT 12973 | Alternate proof of reex 11204. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข โ โ V | ||
Theorem | cnref1o 12974* | There is a natural one-to-one mapping from (โ ร โ) to โ, where we map โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ to (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)). In our construction of the complex numbers, this is in fact our definition of โ (see df-c 11119), but in the axiomatic treatment we can only show that there is the expected mapping between these two sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.) |
โข ๐น = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ โข ๐น:(โ ร โ)โ1-1-ontoโโ | ||
Theorem | cnexALT 12975 | The set of complex numbers exists. This theorem shows that ax-cnex 11169 is redundant if we assume ax-rep 5286. See also ax-cnex 11169. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข โ โ V | ||
Theorem | xrex 12976 | The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) |
โข โ* โ V | ||
Theorem | addex 12977 | The addition operation is a set. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) |
โข + โ V | ||
Theorem | mulex 12978 | The multiplication operation is a set. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) |
โข ยท โ V | ||
Syntax | crp 12979 | Extend class notation to include the class of positive reals. |
class โ+ | ||
Definition | df-rp 12980 | Define the set of positive reals. Definition of positive numbers in [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.) |
โข โ+ = {๐ฅ โ โ โฃ 0 < ๐ฅ} | ||
Theorem | elrp 12981 | Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.) |
โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) | ||
Theorem | elrpii 12982 | Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 23-Feb-2008.) |
โข ๐ด โ โ & โข 0 < ๐ด โ โข ๐ด โ โ+ | ||
Theorem | 1rp 12983 | 1 is a positive real. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Nov-2008.) |
โข 1 โ โ+ | ||
Theorem | 2rp 12984 | 2 is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข 2 โ โ+ | ||
Theorem | 3rp 12985 | 3 is a positive real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
โข 3 โ โ+ | ||
Theorem | rpssre 12986 | The positive reals are a subset of the reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) |
โข โ+ โ โ | ||
Theorem | rpre 12987 | A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.) |
โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | rpxr 12988 | A positive real is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) |
โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ*) | ||
Theorem | rpcn 12989 | A positive real is a complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) |
โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | nnrp 12990 | A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ+) | ||
Theorem | rpgt0 12991 | A positive real is greater than zero. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.) |
โข (๐ด โ โ+ โ 0 < ๐ด) | ||
Theorem | rpge0 12992 | A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.) |
โข (๐ด โ โ+ โ 0 โค ๐ด) | ||
Theorem | rpregt0 12993 | A positive real is a positive real number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.) |
โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) | ||
Theorem | rprege0 12994 | A positive real is a nonnegative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.) |
โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด)) | ||
Theorem | rpne0 12995 | A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) |
โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ 0) | ||
Theorem | rprene0 12996 | A positive real is a nonzero real number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) |
โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด โ โ โง ๐ด โ 0)) | ||
Theorem | rpcnne0 12997 | A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) |
โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด โ โ โง ๐ด โ 0)) | ||
Theorem | rpcndif0 12998 | A positive real number is a complex number not being 0. (Contributed by AV, 29-May-2020.) |
โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ (โ โ {0})) | ||
Theorem | ralrp 12999 | Quantification over positive reals. (Contributed by NM, 12-Feb-2008.) |
โข (โ๐ฅ โ โ+ ๐ โ โ๐ฅ โ โ (0 < ๐ฅ โ ๐)) | ||
Theorem | rexrp 13000 | Quantification over positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.) |
โข (โ๐ฅ โ โ+ ๐ โ โ๐ฅ โ โ (0 < ๐ฅ โง ๐)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |