HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 130 of 470)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-29646)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(29647-31169)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31170-46948)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 12901-13000   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremrpaddcld 12901 Closure law for addition of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„+)
 
Theoremrpmulcld 12902 Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„+)
 
Theoremrpdivcld 12903 Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„+)
 
Theoremltrecd 12904 The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด)))
 
Theoremlerecd 12905 The reciprocal of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (1 / ๐ต) โ‰ค (1 / ๐ด)))
 
Theoremltrec1d 12906 Reciprocal swap in a 'less than' relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ต) < ๐ด)
 
Theoremlerec2d 12907 Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (1 / ๐ต))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค (1 / ๐ด))
 
Theoremlediv2ad 12908 Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด))
 
Theoremltdiv2d 12909 Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))
 
Theoremlediv2d 12910 Division of a positive number by both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด)))
 
Theoremledivdivd 12911 Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ท))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ท / ๐ถ) โ‰ค (๐ต / ๐ด))
 
Theoremdivge1 12912 The ratio of a number over a smaller positive number is larger than 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ 1 โ‰ค (๐ต / ๐ด))
 
Theoremdivlt1lt 12913 A real number divided by a positive real number is less than 1 iff the real number is less than the positive real number. (Contributed by AV, 25-May-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < ๐ต))
 
Theoremdivle1le 12914 A real number divided by a positive real number is less than or equal to 1 iff the real number is less than or equal to the positive real number. (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค 1 โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
 
Theoremledivge1le 12915 If a number is less than or equal to another number, the number divided by a positive number greater than or equal to one is less than or equal to the other number. (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต))
 
Theoremge0p1rpd 12916 A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„+)
 
Theoremrerpdivcld 12917 Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
 
Theoremltsubrpd 12918 Subtracting a positive real from another number decreases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ด)
 
Theoremltaddrpd 12919 Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremltaddrp2d 12920 Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐ต + ๐ด))
 
Theoremltmulgt11d 12921 Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ต ยท ๐ด)))
 
Theoremltmulgt12d 12922 Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ด ยท ๐ต)))
 
Theoremgt0divd 12923 Division of a positive number by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โ†” 0 < (๐ด / ๐ต)))
 
Theoremge0divd 12924 Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
 
Theoremrpgecld 12925 A number greater than or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
 
Theoremdivge0d 12926 The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
 
Theoremltmul1d 12927 The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremltmul2d 12928 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremlemul1d 12929 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremlemul2d 12930 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremltdiv1d 12931 Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremlediv1d 12932 Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltmuldivd 12933 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltmuldiv2d 12934 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremlemuldivd 12935 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremlemuldiv2d 12936 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltdivmuld 12937 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremltdivmul2d 12938 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremledivmuld 12939 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremledivmul2d 12940 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremltmul1dd 12941 The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremltmul2dd 12942 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต))
 
Theoremltdiv1dd 12943 Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremlediv1dd 12944 Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ถ) โ‰ค (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremlediv12ad 12945 Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ท) โ‰ค (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremmul2lt0rlt0 12946 If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < ๐ด)
 
Theoremmul2lt0rgt0 12947 If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ด < 0)
 
Theoremmul2lt0llt0 12948 If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐ต)
 
Theoremmul2lt0lgt0 12949 If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต < 0)
 
Theoremmul2lt0bi 12950 If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ((๐ด < 0 โˆง 0 < ๐ต) โˆจ (0 < ๐ด โˆง ๐ต < 0))))
 
Theoremprodge0rd 12951 Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Revised by AV, 9-Jul-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
 
Theoremprodge0ld 12952 Infer that a multiplier is nonnegative from a positive multiplicand and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by AV, 9-Jul-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
 
Theoremltdiv23d 12953 Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) < ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)
 
Theoremlediv23d 12954 Swap denominator with other side of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต)
 
Theoremlt2mul2divd 12955 The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” (๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต)))
 
Theoremnnledivrp 12956 Division of a positive integer by a positive number is less than or equal to the integer iff the number is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด / ๐ต) โ‰ค ๐ด))
 
Theoremnn0ledivnn 12957 Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐ต) โ‰ค ๐ด)
 
Theoremaddlelt 12958 If the sum of a real number and a positive real number is less than or equal to a third real number, the first real number is less than the third real number. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘€ + ๐ด) โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘))
 
5.5.2  Infinity and the extended real number system (cont.)
 
Syntaxcxne 12959 Extend class notation to include the negative of an extended real.
class -๐‘’๐ด
 
Syntaxcxad 12960 Extend class notation to include addition of extended reals.
class +๐‘’
 
Syntaxcxmu 12961 Extend class notation to include multiplication of extended reals.
class ยทe
 
Definitiondf-xneg 12962 Define the negative of an extended real number. (Contributed by FL, 26-Dec-2011.)
-๐‘’๐ด = if(๐ด = +โˆž, -โˆž, if(๐ด = -โˆž, +โˆž, -๐ด))
 
Definitiondf-xadd 12963* Define addition over extended real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
+๐‘’ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„*, ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โ†ฆ if(๐‘ฅ = +โˆž, if(๐‘ฆ = -โˆž, 0, +โˆž), if(๐‘ฅ = -โˆž, if(๐‘ฆ = +โˆž, 0, -โˆž), if(๐‘ฆ = +โˆž, +โˆž, if(๐‘ฆ = -โˆž, -โˆž, (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))))))
 
Definitiondf-xmul 12964* Define multiplication over extended real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
ยทe = (๐‘ฅ โˆˆ โ„*, ๐‘ฆ โˆˆ โ„* โ†ฆ if((๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0), 0, if((((0 < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฅ = +โˆž) โˆจ (๐‘ฆ < 0 โˆง ๐‘ฅ = -โˆž)) โˆจ ((0 < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = +โˆž) โˆจ (๐‘ฅ < 0 โˆง ๐‘ฆ = -โˆž))), +โˆž, if((((0 < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฅ = -โˆž) โˆจ (๐‘ฆ < 0 โˆง ๐‘ฅ = +โˆž)) โˆจ ((0 < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = -โˆž) โˆจ (๐‘ฅ < 0 โˆง ๐‘ฆ = +โˆž))), -โˆž, (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)))))
 
Theoremltxr 12965 The 'less than' binary relation on the set of extended reals. Definition 12-3.1 of [Gleason] p. 173. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ด <โ„ ๐ต) โˆจ (๐ด = -โˆž โˆง ๐ต = +โˆž)) โˆจ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต = +โˆž) โˆจ (๐ด = -โˆž โˆง ๐ต โˆˆ โ„)))))
 
Theoremelxr 12966 Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
(๐ด โˆˆ โ„* โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
 
Theoremxrnemnf 12967 An extended real other than minus infinity is real or positive infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โ‰  -โˆž) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž))
 
Theoremxrnepnf 12968 An extended real other than plus infinity is real or negative infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โ‰  +โˆž) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = -โˆž))
 
Theoremxrltnr 12969 The extended real 'less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
(๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ยฌ ๐ด < ๐ด)
 
Theoremltpnf 12970 Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด < +โˆž)
 
Theoremltpnfd 12971 Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < +โˆž)
 
Theorem0ltpnf 12972 Zero is less than plus infinity. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
0 < +โˆž
 
Theoremmnflt 12973 Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -โˆž < ๐ด)
 
Theoremmnfltd 12974 Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -โˆž < ๐ด)
 
Theoremmnflt0 12975 Minus infinity is less than 0. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
-โˆž < 0
 
Theoremmnfltpnf 12976 Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
-โˆž < +โˆž
 
Theoremmnfltxr 12977 Minus infinity is less than an extended real that is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž) โ†’ -โˆž < ๐ด)
 
Theorempnfnlt 12978 No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
(๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ยฌ +โˆž < ๐ด)
 
Theoremnltmnf 12979 No extended real is less than minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
(๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ยฌ ๐ด < -โˆž)
 
Theorempnfge 12980 Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
(๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
 
Theoremxnn0n0n1ge2b 12981 An extended nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0* โ†’ ((๐‘ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  1) โ†” 2 โ‰ค ๐‘))
 
Theorem0lepnf 12982 0 less than or equal to positive infinity. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
0 โ‰ค +โˆž
 
Theoremxnn0ge0 12983 An extended nonnegative integer is greater than or equal to 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.) (Revised by AV, 10-Dec-2020.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0* โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
 
Theoremmnfle 12984 Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
(๐ด โˆˆ โ„* โ†’ -โˆž โ‰ค ๐ด)
 
Theoremxrltnsym 12985 Ordering on the extended reals is not symmetric. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต < ๐ด))
 
Theoremxrltnsym2 12986 'Less than' is antisymmetric and irreflexive for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ยฌ (๐ด < ๐ต โˆง ๐ต < ๐ด))
 
Theoremxrlttri 12987 Ordering on the extended reals satisfies strict trichotomy. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttri 11059 or axlttri 11160. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด)))
 
Theoremxrlttr 12988 Ordering on the extended reals is transitive. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด < ๐ต โˆง ๐ต < ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ถ))
 
Theoremxrltso 12989 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
< Or โ„*
 
Theoremxrlttri2 12990 Trichotomy law for 'less than' for extended reals. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด โ‰  ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด)))
 
Theoremxrlttri3 12991 Trichotomy law for 'less than' for extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (ยฌ ๐ด < ๐ต โˆง ยฌ ๐ต < ๐ด)))
 
Theoremxrleloe 12992 'Less than or equal' expressed in terms of 'less than' or 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
 
Theoremxrleltne 12993 'Less than or equal to' implies 'less than' is not 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ๐ต โ‰  ๐ด))
 
Theoremxrltlen 12994 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  ๐ด)))
 
Theoremdfle2 12995 Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
โ‰ค = ( < โˆช ( I โ†พ โ„*))
 
Theoremdflt2 12996 Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
< = ( โ‰ค โˆ– I )
 
Theoremxrltle 12997 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
 
Theoremxrltled 12998 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 12997. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
 
Theoremxrleid 12999 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
(๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ด)
 
Theoremxrleidd 13000 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. Deduction form of xrleid 12999. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ด)
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-46948
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >