Theorem ralbii2 3104

Description: Inference adding different restricted universal quantifiers to each side of an equivalence. (Contributed by NM, 15-Aug-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralbii2.1	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralbii2	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

Proof of Theorem ralbii2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralbii2.1	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜓))
2	1	albii 1851	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜓))
3		df-ral 3077	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
4		df-ral 3077	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜓))
5	2, 3, 4	3bitr4i 306	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1567   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-ral 3077

This theorem is used by:  ralbiia  3106  ralcom3  3112  raleqbii  3332  ralrab  3651  raldifb  4085  ralin  4146  raldifsni  4754  reusv2  5364  fnwe2lem3  8150  dfsup2  9440  iscard2  10061  acnnum  10135  dfac9  10219  dfacacn  10224  raluz2  13028  ralrp  13146  isprm4  16865  sdrgacs  21064  isnrm2  23682  ismbl  25853  ellimc3  26205  dchrelbas2  27570  onsis  28666  ons2ind  28667  h1dei  32158  iineq1i  37078  ixpeq1i  37082