Theorem ralbii2 3108

Description: Inference adding different restricted universal quantifiers to each side of an equivalence. (Contributed by NM, 15-Aug-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralbii2.1	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralbii2	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

Proof of Theorem ralbii2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralbii2.1	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜓))
2	1	albii 1852	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜓))
3		df-ral 3081	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
4		df-ral 3081	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜓))
5	2, 3, 4	3bitr4i 306	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1568   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-ral 3081

This theorem is used by:  ralbiia  3110  ralcom3  3116  raleqbii  3336  ralrab  3655  raldifb  4088  ralin  4149  raldifsni  4760  reusv2  5372  fnwe2lem3  8184  dfsup2  9473  iscard2  10094  acnnum  10170  dfac9  10254  dfacacn  10259  raluz2  13064  ralrp  13182  isprm4  16903  sdrgacs  21109  isnrm2  23731  ismbl  25902  ellimc3  26254  dchrelbas2  27621  onsis  28717  ons2ind  28718  h1dei  32209  iineq1i  37200  ixpeq1i  37204