Theorem elrp 12385

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5063	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 12384	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 3683	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  ℝcr 10530  0cc0 10531   < clt 10669  ℝ⁺crp 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5060  df-rp 12384

This theorem is referenced by:  elrpii  12386  nnrp  12394  rpgt0  12395  rpregt0  12397  ralrp  12403  rexrp  12404  rpaddcl  12405  rpmulcl  12406  rpdivcl  12408  rpgecl  12411  rphalflt  12412  ge0p1rp  12414  rpneg  12415  negelrp  12416  ltsubrp  12419  ltaddrp  12420  difrp  12421  elrpd  12422  infmrp1  12731  iccdil  12870  icccntr  12872  1mod  13265  expgt0  13456  resqrex  14604  sqrtdiv  14619  sqrtneglem  14620  mulcn2  14946  ef01bndlem  15531  sinltx  15536  met1stc  23125  met2ndci  23126  bcthlem4  23924  itg2mulc  24342  dvferm1  24576  dvne0  24602  reeff1o  25029  ellogdm  25216  cxpge0  25260  cxple2a  25276  cxpcn3lem  25322  cxpaddlelem  25326  cxpaddle  25327  atanbnd  25498  rlimcnp  25537  amgm  25562  chtub  25782  chebbnd1  26042  chto1ub  26046  pntlem3  26179  blocni  28576  dfrp2  30485  rpdp2cl  30553  dp2ltc  30558  dplti  30576  dpgti  30577  dpexpp1  30579  dpmul4  30585  fdvposlt  31865  hgt750lem  31917  unbdqndv2lem2  33844  heiborlem8  35090  wallispilem4  42346  perfectALTVlem2  43880  regt1loggt0  44589