Theorem elrp 12911

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5103	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 12910	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 3650	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ℝcr 11029  0cc0 11030   < clt 11170  ℝ⁺crp 12909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-rp 12910

This theorem is referenced by:  elrpii  12912  nnrp  12921  rpgt0  12922  rpregt0  12924  ralrp  12931  rexrp  12932  rpaddcl  12933  rpmulcl  12934  rpdivcl  12936  rpgecl  12939  rphalflt  12940  ge0p1rp  12942  rpneg  12943  negelrp  12944  ltsubrp  12947  ltaddrp  12948  difrp  12949  elrpd  12950  infmrp1  13264  dfrp2  13314  iccdil  13410  icccntr  13412  1mod  13827  expgt0  14022  resqrex  15177  sqrtdiv  15192  sqrtneglem  15193  mulcn2  15523  ef01bndlem  16113  sinltx  16118  met1stc  24469  met2ndci  24470  bcthlem4  25287  itg2mulc  25708  dvferm1  25949  dvne0  25976  reeff1o  26417  ellogdm  26608  cxpge0  26652  cxple2a  26668  cxpcn3lem  26717  cxpaddlelem  26721  cxpaddle  26722  atanbnd  26896  rlimcnp  26935  amgm  26961  chtub  27183  chebbnd1  27443  chto1ub  27447  pntlem3  27580  blocni  30884  rpdp2cl  32965  dp2ltc  32970  dplti  32988  dpgti  32989  dpexpp1  32991  dpmul4  32997  fdvposlt  34758  hgt750lem  34810  unbdqndv2lem2  36712  heiborlem8  38021  dvrelog2  42386  dvrelog3  42387  sqrtcvallem1  43939  wallispilem4  46379  perfectALTVlem2  48035  regt1loggt0  48849