Theorem elrp 12944

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5089	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 12943	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 3637	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  elrpii  12945  nnrp  12954  rpgt0  12955  rpregt0  12957  ralrp  12964  rexrp  12965  rpaddcl  12966  rpmulcl  12967  rpdivcl  12969  rpgecl  12972  rphalflt  12973  ge0p1rp  12975  rpneg  12976  negelrp  12977  ltsubrp  12980  ltaddrp  12981  difrp  12982  elrpd  12983  infmrp1  13297  dfrp2  13347  iccdil  13443  icccntr  13445  1mod  13862  expgt0  14057  resqrex  15212  sqrtdiv  15227  sqrtneglem  15228  mulcn2  15558  ef01bndlem  16151  sinltx  16156  met1stc  24486  met2ndci  24487  bcthlem4  25294  itg2mulc  25714  dvferm1  25952  dvne0  25978  reeff1o  26412  ellogdm  26603  cxpge0  26647  cxple2a  26663  cxpcn3lem  26711  cxpaddlelem  26715  cxpaddle  26716  atanbnd  26890  rlimcnp  26929  amgm  26954  chtub  27175  chebbnd1  27435  chto1ub  27439  pntlem3  27572  blocni  30876  rpdp2cl  32941  dp2ltc  32946  dplti  32964  dpgti  32965  dpexpp1  32967  dpmul4  32973  fdvposlt  34743  hgt750lem  34795  unbdqndv2lem2  36770  heiborlem8  38139  dvrelog2  42503  dvrelog3  42504  sqrtcvallem1  44058  wallispilem4  46496  perfectALTVlem2  48198  regt1loggt0  49012