Theorem elrp 13024

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem elrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5112	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
2		df-rp 13023	. 2 ⊢ ℝ+ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 < 𝑥}
3	1, 2	elrab2 3653	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11249  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-rp 13023

This theorem is used by:  elrpii  13025  nnrp  13034  rpgt0  13035  rpregt0  13037  ralrp  13044  rexrp  13045  rpaddcl  13046  rpmulcl  13047  rpdivcl  13049  rpgecl  13052  rphalflt  13053  ge0p1rp  13055  rpneg  13056  negelrp  13057  ltsubrp  13060  ltaddrp  13061  difrp  13062  elrpd  13063  infmrp1  13377  dfrp2  13427  iccdil  13523  icccntr  13525  1mod  13943  expgt0  14138  resqrex  15308  sqrtdiv  15323  sqrtneglem  15324  mulcn2  15654  ef01bndlem  16246  sinltx  16251  met1stc  24689  met2ndci  24690  bcthlem4  25497  itg2mulc  25917  dvferm1  26155  dvne0  26181  reeff1o  26621  ellogdm  26815  cxpge0  26859  cxple2a  26875  cxpcn3lem  26923  cxpaddlelem  26927  cxpaddle  26928  atanbnd  27102  rlimcnp  27141  amgm  27166  chtub  27387  chebbnd1  27647  chto1ub  27651  pntlem3  27784  blocni  31168  rpdp2cl  33212  dp2ltc  33217  dplti  33235  dpgti  33236  dpexpp1  33238  dpmul4  33244  fdvposlt  34995  hgt750lem  35047  unbdqndv2lem2  37127  heiborlem8  38497  dvrelog2  42859  dvrelog3  42860  sqrtcvallem1  44385  wallispilem4  46810  perfectALTVlem2  48515  regt1loggt0  49344