MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcndif0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpcndif0 13051
Description: A positive real number is a complex number not being 0. (Contributed by AV, 29-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
rpcndif0 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))

Proof of Theorem rpcndif0
StepHypRef Expression
1 rpcnne0 13050 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2 eldifsn 4790 . 2 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
31, 2sylibr 234 1 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  {csn 4630  cc 11150  0cc0 11152  +crp 13031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-rp 13032
This theorem is referenced by:  reefgim  26508  relogbreexp  26832  relogbmul  26834  relogbdiv  26836  relogbcxpb  26844  relogbf  26848  logbgt0b  26850  amgmlemALT  49033
  Copyright terms: Public domain W3C validator