Theorem rpcndif0 12263

Description: A positive real number is a complex number not being 0. (Contributed by AV, 29-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rpcndif0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))

Proof of Theorem rpcndif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcnne0 12262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		eldifsn 4630	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
3	1, 2	sylibr 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   ∖ cdif 3860  {csn 4476  ℂcc 10386  0cc0 10388  ℝ⁺crp 12244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-addrcl 10449  ax-rnegex 10459  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-po 5367  df-so 5368  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-ltxr 10531  df-rp 12245

This theorem is referenced by:  reefgim  24726  relogbreexp  25039  relogbmul  25041  relogbdiv  25043  relogbcxpb  25051  relogbf  25055  logbgt0b  25057  amgmlemALT  44411