Theorem rpcndif0 12998

Description: A positive real number is a complex number not being 0. (Contributed by AV, 29-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rpcndif0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))

Proof of Theorem rpcndif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcnne0 12997	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		eldifsn 4790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
3	1, 2	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3945  {csn 4628  ℂcc 11111  0cc0 11113  ℝ⁺crp 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-addrcl 11174  ax-rnegex 11184  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-rp 12980

This theorem is referenced by:  reefgim  26199  relogbreexp  26517  relogbmul  26519  relogbdiv  26521  relogbcxpb  26529  relogbf  26533  logbgt0b  26535  amgmlemALT  47938