Theorem tlmtmd 24381

Description: A topological module is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tlmtmd	⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem tlmtmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ( ·sf ‘𝑊) = ( ·sf ‘𝑊)
2		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
5	1, 2, 3, 4	istlm 24379	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod ↔ ((𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing) ∧ ( ·sf ‘𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊))))
6	5	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing))
7	6	simp1d 1160	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Scalarcsca 17338  TopOpenctopn 17499  LModclmod 21018   ·_sf cscaf 21019   Cn ccn 23418   ×_t ctx 23754  TopMndctmd 24264  TopRingctrg 24350  TopModctlm 24352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426  df-tlm 24356

This theorem is used by:  tlmtps  24382  tlmtgp  24390