Theorem tlmtmd 24419

Description: A topological module is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tlmtmd	⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem tlmtmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ·sf ‘𝑊) = ( ·sf ‘𝑊)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
5	1, 2, 3, 4	istlm 24417	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod ↔ ((𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing) ∧ ( ·sf ‘𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊))))
6	5	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing))
7	6	simp1d 1160	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Scalarcsca 17351  TopOpenctopn 17512  LModclmod 21050   ·_sf cscaf 21051   Cn ccn 23455   ×_t ctx 23792  TopMndctmd 24302  TopRingctrg 24388  TopModctlm 24390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-tlm 24394

This theorem is used by:  tlmtps  24420  tlmtgp  24428