Theorem tlmtgp 24161

Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tlmtgp	⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem tlmtgp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tlmlmod 24154	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 20862	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		tlmtmd 24152	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMnd)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
7	5, 6	grpinvf 18962	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (invg‘𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
9	8	feqmptd 6908	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘𝑊)‘𝑥)))
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
14	5, 6, 10, 11, 12, 13	lmodvneg1 20900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = ((invg‘𝑊)‘𝑥))
15	1, 14	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ TopMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = ((invg‘𝑊)‘𝑥))
16	15	mpteq2dva 5178	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘𝑊)‘𝑥)))
17	9, 16	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)))
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
19		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
20		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMod)
21		tlmtps 24153	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopSp)
22	5, 18	istps 22899	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
23	21, 22	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
24	10	tlmscatps 24156	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ TopSp)
25		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
26	25, 19	istps 22899	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
27	24, 26	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
28	10	lmodring 20863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
29	1, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
30		ringgrp 20219	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
32	25, 12	ringidcl 20246	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	25, 13	grpinvcl 18963	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	31, 33, 34	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36	23, 27, 35	cnmptc 23627	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))))
37	23	cnmptid 23626	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
38	10, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37	cnmpt1vsca 24159	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
39	17, 38	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
40	18, 6	istgp 24042	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊))))
41	3, 4, 39, 40	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  TopOpenctopn 17384  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  LModclmod 20855  TopOnctopon 22875  TopSpctps 22897   Cn ccn 23189  TopMndctmd 24035  TopGrpctgp 24036  TopModctlm 24123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-scaf 20858  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-tx 23527  df-tmd 24037  df-tgp 24038  df-trg 24125  df-tlm 24127

This theorem is referenced by: (None)