Theorem tlmtgp 24204

Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tlmtgp	⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem tlmtgp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tlmlmod 24197	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 20865	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		tlmtmd 24195	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMnd)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
7	5, 6	grpinvf 19004	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (invg‘𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
9	8	feqmptd 6977	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘𝑊)‘𝑥)))
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
14	5, 6, 10, 11, 12, 13	lmodvneg1 20903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = ((invg‘𝑊)‘𝑥))
15	1, 14	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ TopMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = ((invg‘𝑊)‘𝑥))
16	15	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘𝑊)‘𝑥)))
17	9, 16	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)))
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
20		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMod)
21		tlmtps 24196	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopSp)
22	5, 18	istps 22940	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
23	21, 22	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
24	10	tlmscatps 24199	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ TopSp)
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
26	25, 19	istps 22940	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
27	24, 26	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
28	10	lmodring 20866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
29	1, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
30		ringgrp 20235	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
32	25, 12	ringidcl 20262	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	25, 13	grpinvcl 19005	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	31, 33, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36	23, 27, 35	cnmptc 23670	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))))
37	23	cnmptid 23669	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
38	10, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37	cnmpt1vsca 24202	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
39	17, 38	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
40	18, 6	istgp 24085	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊))))
41	3, 4, 39, 40	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  TopOpenctopn 17466  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  TopOnctopon 22916  TopSpctps 22938   Cn ccn 23232  TopMndctmd 24078  TopGrpctgp 24079  TopModctlm 24166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-trg 24168  df-tlm 24170

This theorem is referenced by: (None)