MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tlmtgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tlmtgp 23691
Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tlmtgp (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ TopGrp)

Proof of Theorem tlmtgp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tlmlmod 23684 . . 3 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodgrp 20470 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
4 tlmtmd 23682 . 2 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ TopMnd)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
75, 6grpinvf 18867 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Grp β†’ (invgβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
83, 7syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (invgβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
98feqmptd 6957 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (invgβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
10 eqid 2732 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
11 eqid 2732 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
12 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2732 . . . . . . 7 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
145, 6, 10, 11, 12, 13lmodvneg1 20507 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
151, 14sylan 580 . . . . 5 ((π‘Š ∈ TopMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
1615mpteq2dva 5247 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
179, 16eqtr4d 2775 . . 3 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (invgβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)))
18 eqid 2732 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘Š) = (TopOpenβ€˜π‘Š)
19 eqid 2732 . . . 4 (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
20 id 22 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ TopMod)
21 tlmtps 23683 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ TopSp)
225, 18istps 22427 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜π‘Š) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
2321, 22sylib 217 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
2410tlmscatps 23686 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ TopSp)
25 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2625, 19istps 22427 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
2724, 26sylib 217 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
2810lmodring 20471 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
291, 28syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
30 ringgrp 20054 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
3225, 12ringidcl 20076 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3329, 32syl 17 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3425, 13grpinvcl 18868 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3531, 33, 34syl2anc 584 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopMod β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3623, 27, 35cnmptc 23157 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Š) Cn (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3723cnmptid 23156 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Š) Cn (TopOpenβ€˜π‘Š)))
3810, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37cnmpt1vsca 23689 . . 3 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Š) Cn (TopOpenβ€˜π‘Š)))
3917, 38eqeltrd 2833 . 2 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (invgβ€˜π‘Š) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Š) Cn (TopOpenβ€˜π‘Š)))
4018, 6istgp 23572 . 2 (π‘Š ∈ TopGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ TopMnd ∧ (invgβ€˜π‘Š) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Š) Cn (TopOpenβ€˜π‘Š))))
413, 4, 39, 40syl3anbrc 1343 1 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  TopOpenctopn 17363  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  TopOnctopon 22403  TopSpctps 22425   Cn ccn 22719  TopMndctmd 23565  TopGrpctgp 23566  TopModctlm 23653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-scaf 20466  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-trg 23655  df-tlm 23657
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator