Theorem tlmtgp 23255

Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tlmtgp	⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem tlmtgp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tlmlmod 23248	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 20045	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		tlmtmd 23246	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMnd)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
7	5, 6	grpinvf 18541	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (invg‘𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
9	8	feqmptd 6819	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘𝑊)‘𝑥)))
10		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
14	5, 6, 10, 11, 12, 13	lmodvneg1 20081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = ((invg‘𝑊)‘𝑥))
15	1, 14	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ TopMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = ((invg‘𝑊)‘𝑥))
16	15	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘𝑊)‘𝑥)))
17	9, 16	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)))
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
20		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMod)
21		tlmtps 23247	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopSp)
22	5, 18	istps 21991	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
23	21, 22	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
24	10	tlmscatps 23250	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ TopSp)
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
26	25, 19	istps 21991	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
27	24, 26	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
28	10	lmodring 20046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
29	1, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
30		ringgrp 19703	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
32	25, 12	ringidcl 19722	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	25, 13	grpinvcl 18542	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	31, 33, 34	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36	23, 27, 35	cnmptc 22721	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))))
37	23	cnmptid 22720	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
38	10, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37	cnmpt1vsca 23253	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
39	17, 38	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
40	18, 6	istgp 23136	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊))))
41	3, 4, 39, 40	syl3anbrc 1341	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  TopOpenctopn 17049  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  TopOnctopon 21967  TopSpctps 21989   Cn ccn 22283  TopMndctmd 23129  TopGrpctgp 23130  TopModctlm 23217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-scaf 20041  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-tx 22621  df-tmd 23131  df-tgp 23132  df-trg 23219  df-tlm 23221

This theorem is referenced by: (None)