MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tlmtgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tlmtgp 23563
Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tlmtgp (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ TopGrp)

Proof of Theorem tlmtgp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tlmlmod 23556 . . 3 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodgrp 20343 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
4 tlmtmd 23554 . 2 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ TopMnd)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
75, 6grpinvf 18802 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Grp β†’ (invgβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
83, 7syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (invgβ€˜π‘Š):(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
98feqmptd 6911 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (invgβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
10 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
11 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
145, 6, 10, 11, 12, 13lmodvneg1 20380 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
151, 14sylan 581 . . . . 5 ((π‘Š ∈ TopMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
1615mpteq2dva 5206 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
179, 16eqtr4d 2776 . . 3 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (invgβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)))
18 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘Š) = (TopOpenβ€˜π‘Š)
19 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
20 id 22 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ TopMod)
21 tlmtps 23555 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ TopSp)
225, 18istps 22299 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜π‘Š) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
2321, 22sylib 217 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
2410tlmscatps 23558 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ TopSp)
25 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2625, 19istps 22299 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
2724, 26sylib 217 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
2810lmodring 20344 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
291, 28syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
30 ringgrp 19974 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
3225, 12ringidcl 19994 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3329, 32syl 17 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3425, 13grpinvcl 18803 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3531, 33, 34syl2anc 585 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopMod β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3623, 27, 35cnmptc 23029 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Š) Cn (TopOpenβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3723cnmptid 23028 . . . 4 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Š) Cn (TopOpenβ€˜π‘Š)))
3810, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37cnmpt1vsca 23561 . . 3 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Š) Cn (TopOpenβ€˜π‘Š)))
3917, 38eqeltrd 2834 . 2 (π‘Š ∈ TopMod β†’ (invgβ€˜π‘Š) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Š) Cn (TopOpenβ€˜π‘Š)))
4018, 6istgp 23444 . 2 (π‘Š ∈ TopGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ TopMnd ∧ (invgβ€˜π‘Š) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Š) Cn (TopOpenβ€˜π‘Š))))
413, 4, 39, 40syl3anbrc 1344 1 (π‘Š ∈ TopMod β†’ π‘Š ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  TopOpenctopn 17308  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  1rcur 19918  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  TopOnctopon 22275  TopSpctps 22297   Cn ccn 22591  TopMndctmd 23437  TopGrpctgp 23438  TopModctlm 23525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-topgen 17330  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-scaf 20339  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-trg 23527  df-tlm 23529
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator