MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tlmtgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tlmtgp 22805
Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tlmtgp (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem tlmtgp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tlmlmod 22798 . . 3 (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ LMod)
2 lmodgrp 19638 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ Grp)
4 tlmtmd 22796 . 2 (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMnd)
5 eqid 2801 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 eqid 2801 . . . . . . 7 (invg𝑊) = (invg𝑊)
75, 6grpinvf 18146 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Grp → (invg𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
83, 7syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ TopMod → (invg𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
98feqmptd 6712 . . . 4 (𝑊 ∈ TopMod → (invg𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg𝑊)‘𝑥)))
10 eqid 2801 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11 eqid 2801 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
12 eqid 2801 . . . . . . 7 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13 eqid 2801 . . . . . . 7 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
145, 6, 10, 11, 12, 13lmodvneg1 19674 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑥) = ((invg𝑊)‘𝑥))
151, 14sylan 583 . . . . 5 ((𝑊 ∈ TopMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑥) = ((invg𝑊)‘𝑥))
1615mpteq2dva 5128 . . . 4 (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg𝑊)‘𝑥)))
179, 16eqtr4d 2839 . . 3 (𝑊 ∈ TopMod → (invg𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑥)))
18 eqid 2801 . . . 4 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
19 eqid 2801 . . . 4 (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
20 id 22 . . . 4 (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMod)
21 tlmtps 22797 . . . . 5 (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopSp)
225, 18istps 21543 . . . . 5 (𝑊 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
2321, 22sylib 221 . . . 4 (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
2410tlmscatps 22800 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ TopSp)
25 eqid 2801 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2625, 19istps 21543 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑊) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
2724, 26sylib 221 . . . . 5 (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
2810lmodring 19639 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
291, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
30 ringgrp 19299 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
3225, 12ringidcl 19318 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3329, 32syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3425, 13grpinvcl 18147 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3531, 33, 34syl2anc 587 . . . . 5 (𝑊 ∈ TopMod → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3623, 27, 35cnmptc 22271 . . . 4 (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))))
3723cnmptid 22270 . . . 4 (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
3810, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37cnmpt1vsca 22803 . . 3 (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑥)) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
3917, 38eqeltrd 2893 . 2 (𝑊 ∈ TopMod → (invg𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
4018, 6istgp 22686 . 2 (𝑊 ∈ TopGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ TopMnd ∧ (invg𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊))))
413, 4, 39, 40syl3anbrc 1340 1 (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  TopOpenctopn 16691  Grpcgrp 18099  invgcminusg 18100  1rcur 19248  Ringcrg 19294  LModclmod 19631  TopOnctopon 21519  TopSpctps 21541   Cn ccn 21833  TopMndctmd 22679  TopGrpctgp 22680  TopModctlm 22767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-topgen 16713  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-lmod 19633  df-scaf 19634  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-tx 22171  df-tmd 22681  df-tgp 22682  df-trg 22769  df-tlm 22771
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator