Theorem tlmtgp 23347

Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tlmtgp	⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem tlmtgp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tlmlmod 23340	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 20130	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		tlmtmd 23338	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMnd)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
7	5, 6	grpinvf 18626	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (invg‘𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊):(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑊))
9	8	feqmptd 6837	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘𝑊)‘𝑥)))
10		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
14	5, 6, 10, 11, 12, 13	lmodvneg1 20166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = ((invg‘𝑊)‘𝑥))
15	1, 14	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ TopMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = ((invg‘𝑊)‘𝑥))
16	15	mpteq2dva 5174	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘𝑊)‘𝑥)))
17	9, 16	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)))
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
20		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopMod)
21		tlmtps 23339	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopSp)
22	5, 18	istps 22083	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
23	21, 22	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘𝑊) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
24	10	tlmscatps 23342	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ TopSp)
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
26	25, 19	istps 22083	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
27	24, 26	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(Base‘(Scalar‘𝑊))))
28	10	lmodring 20131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
29	1, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
30		ringgrp 19788	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
32	25, 12	ringidcl 19807	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	25, 13	grpinvcl 18627	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
35	31, 33, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36	23, 27, 35	cnmptc 22813	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))))
37	23	cnmptid 22812	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
38	10, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37	cnmpt1vsca 23345	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
39	17, 38	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → (invg‘𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊)))
40	18, 6	istgp 23228	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝑊) ∈ ((TopOpen‘𝑊) Cn (TopOpen‘𝑊))))
41	3, 4, 39, 40	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod → 𝑊 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  TopOpenctopn 17132  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  TopOnctopon 22059  TopSpctps 22081   Cn ccn 22375  TopMndctmd 23221  TopGrpctgp 23222  TopModctlm 23309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-scaf 20126  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-tx 22713  df-tmd 23223  df-tgp 23224  df-trg 23311  df-tlm 23313

This theorem is referenced by: (None)