NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  2reu5 GIF version

Theorem 2reu5 3044
Description: Double restricted existential uniqueness in terms of restricted existential quantification and restricted universal quantification, analogous to 2eu5 2288 and reu3 3026. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu5 ((∃!x A ∃!y B φ x A ∃*y B φ) ↔ (x A y B φ z A w B x A y B (φ → (x = z y = w))))
Distinct variable groups:   y,w,z,A,x   w,B   x,z,B,y   φ,w,z   x,A   y,B
Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem 2reu5
StepHypRef Expression
1 r19.29r 2755 . . . . . . . 8 ((x A y B φ x A y B (φ → (x = z y = w))) → x A (y B φ y B (φ → (x = z y = w))))
2 r19.29r 2755 . . . . . . . . 9 ((y B φ y B (φ → (x = z y = w))) → y B (φ (φ → (x = z y = w))))
32reximi 2721 . . . . . . . 8 (x A (y B φ y B (φ → (x = z y = w))) → x A y B (φ (φ → (x = z y = w))))
4 pm3.35 570 . . . . . . . . . . 11 ((φ (φ → (x = z y = w))) → (x = z y = w))
54reximi 2721 . . . . . . . . . 10 (y B (φ (φ → (x = z y = w))) → y B (x = z y = w))
65reximi 2721 . . . . . . . . 9 (x A y B (φ (φ → (x = z y = w))) → x A y B (x = z y = w))
7 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . 14 (x = z → (x Az A))
8 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . 14 (y = w → (y Bw B))
97, 8bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . 13 ((x = z y = w) → ((x A y B) ↔ (z A w B)))
109biimpac 472 . . . . . . . . . . . 12 (((x A y B) (x = z y = w)) → (z A w B))
1110ancomd 438 . . . . . . . . . . 11 (((x A y B) (x = z y = w)) → (w B z A))
1211ex 423 . . . . . . . . . 10 ((x A y B) → ((x = z y = w) → (w B z A)))
1312rexlimivv 2743 . . . . . . . . 9 (x A y B (x = z y = w) → (w B z A))
146, 13syl 15 . . . . . . . 8 (x A y B (φ (φ → (x = z y = w))) → (w B z A))
151, 3, 143syl 18 . . . . . . 7 ((x A y B φ x A y B (φ → (x = z y = w))) → (w B z A))
1615ex 423 . . . . . 6 (x A y B φ → (x A y B (φ → (x = z y = w)) → (w B z A)))
1716pm4.71rd 616 . . . . 5 (x A y B φ → (x A y B (φ → (x = z y = w)) ↔ ((w B z A) x A y B (φ → (x = z y = w)))))
18 anass 630 . . . . 5 (((w B z A) x A y B (φ → (x = z y = w))) ↔ (w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w)))))
1917, 18syl6bb 252 . . . 4 (x A y B φ → (x A y B (φ → (x = z y = w)) ↔ (w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w))))))
20192exbidv 1628 . . 3 (x A y B φ → (zwx A y B (φ → (x = z y = w)) ↔ zw(w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w))))))
2120pm5.32i 618 . 2 ((x A y B φ zwx A y B (φ → (x = z y = w))) ↔ (x A y B φ zw(w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w))))))
22 2reu5lem3 3043 . 2 ((∃!x A ∃!y B φ x A ∃*y B φ) ↔ (x A y B φ zwx A y B (φ → (x = z y = w))))
23 df-rex 2620 . . . 4 (z A w B x A y B (φ → (x = z y = w)) ↔ z(z A w B x A y B (φ → (x = z y = w))))
24 r19.42v 2765 . . . . . 6 (w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w))) ↔ (z A w B x A y B (φ → (x = z y = w))))
25 df-rex 2620 . . . . . 6 (w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w))) ↔ w(w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w)))))
2624, 25bitr3i 242 . . . . 5 ((z A w B x A y B (φ → (x = z y = w))) ↔ w(w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w)))))
2726exbii 1582 . . . 4 (z(z A w B x A y B (φ → (x = z y = w))) ↔ zw(w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w)))))
2823, 27bitri 240 . . 3 (z A w B x A y B (φ → (x = z y = w)) ↔ zw(w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w)))))
2928anbi2i 675 . 2 ((x A y B φ z A w B x A y B (φ → (x = z y = w))) ↔ (x A y B φ zw(w B (z A x A y B (φ → (x = z y = w))))))
3021, 22, 293bitr4i 268 1 ((∃!x A ∃!y B φ x A ∃*y B φ) ↔ (x A y B φ z A w B x A y B (φ → (x = z y = w))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176   wa 358  wex 1541   wcel 1710  wral 2614  wrex 2615  ∃!wreu 2616  ∃*wrmo 2617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator