Theorem 2logb9irrALT 25374

Description: Alternate proof of 2logb9irr 25371: The logarithm of nine to base two is irrational. (Contributed by AV, 31-Dec-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrALT	⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irrALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 13559	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
2	1	eqcomi 2829	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
3	2	oveq2i 7164	. . 3 ⊢ (2 logb 9) = (2 logb (3↑2))
4		2cn 11710	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		2ne0 11739	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
6		1ne2 11843	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
7	6	necomi 3069	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
8		eldifpr 4594	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1))
9	4, 5, 7, 8	mpbir3an 1336	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1})
10		3rp 12393	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ+
11		2z 12012	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		relogbzexp 25352	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 3 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3)))
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1456	. . 3 ⊢ (2 logb (3↑2)) = (2 · (2 logb 3))
14	3, 13	eqtri 2843	. 2 ⊢ (2 logb 9) = (2 · (2 logb 3))
15		3cn 11716	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
16		3ne0 11741	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
17		eldifsn 4716	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0))
18	15, 16, 17	mpbir2an 709	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ (ℂ ∖ {0})
19		logbcl 25343	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 3 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2 logb 3) ∈ ℂ)
20	9, 18, 19	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (2 logb 3) ∈ ℂ
21	4, 20	mulcomi 10646	. . 3 ⊢ (2 · (2 logb 3)) = ((2 logb 3) · 2)
22		2logb3irr 25373	. . . 4 ⊢ (2 logb 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
23		zq 12352	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
24	11, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℚ
25		irrmul 12371	. . . 4 ⊢ (((2 logb 3) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 logb 3) · 2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
26	22, 24, 5, 25	mp3an 1456	. . 3 ⊢ ((2 logb 3) · 2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
27	21, 26	eqeltri 2908	. 2 ⊢ (2 · (2 logb 3)) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
28	14, 27	eqeltri 2908	1 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015   ∖ cdif 3930  {csn 4564  {cpr 4566  (class class class)co 7153  ℂcc 10532  ℝcr 10533  0cc0 10534  1c1 10535   · cmul 10539  2c2 11690  3c3 11691  9c9 11697  ℤcz 11979  ℚcq 12346  ℝ⁺crp 12387  ↑cexp 13427   log_b clogb 25340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-inf2 9101  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611  ax-pre-sup 10612  ax-addf 10613  ax-mulf 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-se 5512  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-of 7406  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-div 11295  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-4 11700  df-5 11701  df-6 11702  df-7 11703  df-8 11704  df-9 11705  df-n0 11896  df-z 11980  df-dec 12097  df-uz 12242  df-q 12347  df-rp 12388  df-xneg 12505  df-xadd 12506  df-xmul 12507  df-ioo 12740  df-ioc 12741  df-ico 12742  df-icc 12743  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13428  df-fac 13632  df-bc 13661  df-hash 13689  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-dvds 15604  df-gcd 15840  df-prm 16012  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20533  df-xmet 20534  df-met 20535  df-bl 20536  df-mopn 20537  df-fbas 20538  df-fg 20539  df-cnfld 20542  df-top 21498  df-topon 21515  df-topsp 21537  df-bases 21550  df-cld 21623  df-ntr 21624  df-cls 21625  df-nei 21702  df-lp 21740  df-perf 21741  df-cn 21831  df-cnp 21832  df-haus 21919  df-tx 22166  df-hmeo 22359  df-fil 22450  df-fm 22542  df-flim 22543  df-flf 22544  df-xms 22926  df-ms 22927  df-tms 22928  df-cncf 23482  df-limc 24462  df-dv 24463  df-log 25138  df-cxp 25139  df-logb 25341

This theorem is referenced by: (None)