Theorem archiabllem1b 30821

Description: Lemma for archiabl 30827. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥, ≤

Allowed substitution hints:   < (𝑦)   · (𝑦)   𝑈(𝑦)   ≤ (𝑦,𝑛)   0 (𝑦)

Proof of Theorem archiabllem1b

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 11994	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 0 ∈ ℤ)
2		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
3		archiabllem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
4		archiabllem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		archiabllem.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑊)
7	4, 5, 6	mulg0 18231	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑈) = 0 )
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑈) = 0 )
9	8	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → (0 · 𝑈) = 0 )
10	2, 9	eqtr4d 2859	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = (0 · 𝑈))
11		oveq1 7163	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑈) = (0 · 𝑈))
12	11	rspceeqv 3638	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (0 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
13	1, 10, 12	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
14		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12087	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12090	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → -𝑚 ∈ ℤ)
17	3	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑈 ∈ 𝐵)
18	17	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
19		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
20	4, 6, 19	mulgnegnn 18238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
21	14, 18, 20	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
22		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
23	22	fveq2d 6674	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
24		archiabllem.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
25	24	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ oGrp)
26		ogrpgrp 30704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Grp)
28		simp2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
29	4, 19	grpinvinv 18166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
30	27, 28, 29	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
31	30	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
32	21, 23, 31	3eqtr2rd 2863	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈))
33		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · 𝑈) = (-𝑚 · 𝑈))
34	33	rspceeqv 3638	. . . . 5 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
35	16, 32, 34	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
36		archiabllem.e	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
37		archiabllem.t	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝑊)
38		archiabllem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
39	38	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Archi)
40		archiabllem1.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
41	40	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 < 𝑈)
42		simp1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝜑)
43		archiabllem1.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
44	42, 43	syl3an1 1159	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
45	4, 19	grpinvcl 18151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
46	27, 28, 45	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
47	4, 5	grpidcl 18131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
48	27, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 ∈ 𝐵)
49		simp3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑦 < 0 )
50		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
51	4, 37, 50	ogrpaddlt 30718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)))
52	25, 28, 48, 46, 49, 51	syl131anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)))
53	4, 50, 5, 19	grprinv 18153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 0 )
54	27, 28, 53	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 0 )
55	4, 50, 5	grplid 18133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘𝑦))
56	27, 46, 55	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘𝑦))
57	52, 54, 56	3brtr3d 5097	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 < ((invg‘𝑊)‘𝑦))
58	4, 5, 36, 37, 6, 25, 39, 17, 41, 44, 46, 57	archiabllem1a 30820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
59	35, 58	r19.29a 3289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
60	59	3expa 1114	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
61		nnssz 12003	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
62	24	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ oGrp)
63	38	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ Archi)
64	3	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑈 ∈ 𝐵)
65	40	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑈)
66		simp1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝜑)
67	66, 43	syl3an1 1159	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
68		simp2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
69		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
70	4, 5, 36, 37, 6, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69	archiabllem1a 30820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
71	70	3expa 1114	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
72		ssrexv 4034	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈)))
73	61, 71, 72	mpsyl 68	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
74		isogrp 30703	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
75	74	simprbi 499	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
76		omndtos 30706	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
77	24, 75, 76	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
78	77	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Toset)
79		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
80	24, 26, 47	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
81	80	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
82	4, 37	tlt3 30652	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
83	78, 79, 81, 82	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
84	13, 60, 73, 83	mpjao3dan 1427	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ w3o 1082   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  -cneg 10871  ℕcn 11638  ℤcz 11982  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  lecple 16572  0_gc0g 16713  ltcplt 17551  Tosetctos 17643  Grpcgrp 18103  inv_gcminusg 18104  ._gcmg 18224  oMndcomnd 30698  oGrpcogrp 30699  Archicarchi 30806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-seq 13371  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-toset 17644  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-omnd 30700  df-ogrp 30701  df-inftm 30807  df-archi 30808

This theorem is referenced by:  archiabllem1  30822