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Theorem archiabllem1a 29522
Description: Lemma for archiabl 29529: In case an archimedean group 𝑊 admits a smallest positive element 𝑈, then any positive element 𝑋 of 𝑊 can be written as (𝑛 · 𝑈) with 𝑛 ∈ ℕ. Since the reciprocal holds for negative elements, 𝑊 is then isomorphic to . (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u (𝜑𝑈𝐵)
archiabllem1.p (𝜑0 < 𝑈)
archiabllem1.s ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
archiabllem1a.x (𝜑𝑋𝐵)
archiabllem1a.c (𝜑0 < 𝑋)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1a (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hint:   (𝑛)

Proof of Theorem archiabllem1a
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 791 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2 nn0p1nn 11277 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4 archiabllem1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐵)
54ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈𝐵)
6 archiabllem.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑊)
7 archiabllem.m . . . . . . . 8 · = (.g𝑊)
86, 7mulg1 17464 . . . . . . 7 (𝑈𝐵 → (1 · 𝑈) = 𝑈)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 · 𝑈) = 𝑈)
109oveq1d 6620 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
11 archiabllem.g . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
1211ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ oGrp)
13 ogrpgrp 29480 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Grp)
15 1zzd 11353 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℤ)
161nn0zd 11424 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℤ)
17 eqid 2626 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
186, 7, 17mulgdir 17489 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵)) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
1914, 15, 16, 5, 18syl13anc 1325 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
20 isogrp 29479 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
2120simprbi 480 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
22 omndtos 29482 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
23 tospos 29435 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Poset)
2512, 24syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Poset)
26 archiabllem1a.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
2726ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋𝐵)
286, 7mulgcl 17475 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
2914, 16, 5, 28syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
30 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (-g𝑊) = (-g𝑊)
316, 30grpsubcl 17411 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
3214, 27, 29, 31syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
3316peano2zd 11429 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
346, 7mulgcl 17475 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
3514, 33, 5, 34syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
36 simprr 795 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))
37 archiabllem.e . . . . . . . . . 10 = (le‘𝑊)
386, 37, 30ogrpsub 29494 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
3912, 27, 35, 29, 36, 38syl131anc 1336 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
401nn0cnd 11298 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℂ)
41 1cnd 10001 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℂ)
4240, 41pncan2d 10339 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) − 𝑚) = 1)
4342oveq1d 6620 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (1 · 𝑈))
446, 7, 30mulgsubdir 17498 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵)) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
4514, 33, 16, 5, 44syl13anc 1325 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
4643, 45, 93eqtr3d 2668 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
4739, 46breqtrd 4644 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) 𝑈)
48 archiabllem1.s . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
49483expia 1264 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 < 𝑥𝑈 𝑥))
5049ralrimiva 2965 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑈 𝑥))
5150ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∀𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑈 𝑥))
52 archiabllem.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
536, 52, 30grpsubid 17415 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑚 · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
5414, 29, 53syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
55 simprl 793 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) < 𝑋)
56 archiabllem.t . . . . . . . . . . 11 < = (lt‘𝑊)
576, 56, 30ogrpsublt 29499 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ (𝑚 · 𝑈) < 𝑋) → ((𝑚 · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
5812, 29, 27, 29, 55, 57syl131anc 1336 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
5954, 58eqbrtrrd 4642 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 0 < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
60 breq2 4622 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → ( 0 < 𝑥0 < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
61 breq2 4622 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (𝑈 𝑥𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
6260, 61imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (( 0 < 𝑥𝑈 𝑥) ↔ ( 0 < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
6362rspcv 3296 . . . . . . . 8 ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 → (∀𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑈 𝑥) → ( 0 < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
6432, 51, 59, 63syl3c 66 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
656, 37posasymb 16868 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵𝑈𝐵) → (((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) 𝑈𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))) ↔ (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈))
6665biimpa 501 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵𝑈𝐵) ∧ ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) 𝑈𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
6725, 32, 5, 47, 64, 66syl32anc 1331 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
6867oveq1d 6620 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
6910, 19, 683eqtr4rd 2671 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = ((1 + 𝑚) · 𝑈))
706, 17, 30grpnpcan 17423 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
7114, 27, 29, 70syl3anc 1323 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
7241, 40addcomd 10183 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 + 𝑚) = (𝑚 + 1))
7372oveq1d 6620 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
7469, 71, 733eqtr3d 2668 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
75 oveq1 6612 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
7675eqeq2d 2636 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑋 = (𝑛 · 𝑈) ↔ 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈)))
7776rspcev 3300 . . 3 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
783, 74, 77syl2anc 692 . 2 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
79 archiabllem.a . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
80 archiabllem1.p . . 3 (𝜑0 < 𝑈)
81 archiabllem1a.c . . 3 (𝜑0 < 𝑋)
826, 52, 56, 37, 7, 11, 79, 4, 26, 80, 81archirng 29519 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈)))
8378, 82r19.29a 3076 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   + caddc 9884  cmin 10211  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  lecple 15864  0gc0g 16016  Posetcpo 16856  ltcplt 16857  Tosetctos 16949  Grpcgrp 17338  -gcsg 17340  .gcmg 17456  oMndcomnd 29474  oGrpcogrp 29475  Archicarchi 29508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739  df-0g 16018  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-toset 16950  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-omnd 29476  df-ogrp 29477  df-inftm 29509  df-archi 29510
This theorem is referenced by:  archiabllem1b  29523
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