MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2ser2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2ser2 14328
Description: The limit of an infinite series with an initial segment added. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2ser.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2ser.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2ser2.5 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
clim2ser2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2ser2
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2ser.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 clim2ser.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3syl6eleq 2708 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 peano2uz 11693 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
7 eluzelz 11649 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9 clim2ser2.5 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10 eluzel2 11644 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2ser.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
133, 11, 12serf 12777 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 2ffvelrnd 6321 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 seqex 12751 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
176, 3syl6eleqr 2709 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
183uztrn2 11657 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
1917, 18sylan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
2019, 12syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
211, 8, 20serf 12777 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
2221ffvelrnda 6320 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
23 addcl 9970 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
2423adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
25 addass 9975 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
2625adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
27 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
284adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
29 elfzuz 12288 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3029, 3syl6eleqr 2709 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3130, 12sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3231adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3324, 26, 27, 28, 32seqsplit 12782 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
3414adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
3534, 22addcomd 10190 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
3633, 35eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
371, 8, 9, 14, 16, 22, 36climaddc1 14307 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  1c1 9889   + caddc 9891  cz 11329  cuz 11639  ...cfz 12276  seqcseq 12749  cli 14157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161
This theorem is referenced by:  iserex  14329  abelthlem6  24111  abelthlem9  24115  leibpi  24586
  Copyright terms: Public domain W3C validator