Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqex 12746
 Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqex seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seq 12745 . 2 seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω)
2 rdgfun 7460 . . 3 Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
3 omex 8487 . . 3 ω ∈ V
4 funimaexg 5935 . . 3 ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
52, 3, 4mp2an 707 . 2 (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
61, 5eqeltri 2694 1 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ⟨cop 4156   “ cima 5079  Fun wfun 5843  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   ↦ cmpt2 6609  ωcom 7015  reccrdg 7453  1c1 9884   + caddc 9886  seqcseq 12744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-seq 12745 This theorem is referenced by:  seqshft  13762  clim2ser  14322  clim2ser2  14323  isermulc2  14325  isershft  14331  isercoll  14335  isercoll2  14336  iseralt  14352  fsumcvg  14379  sumrb  14380  isumclim3  14421  isumadd  14429  cvgcmp  14478  cvgcmpce  14480  trireciplem  14522  geolim  14529  geolim2  14530  geo2lim  14534  geomulcvg  14535  geoisum1c  14539  cvgrat  14543  mertens  14546  clim2prod  14548  clim2div  14549  ntrivcvg  14557  ntrivcvgfvn0  14559  ntrivcvgmullem  14561  fprodcvg  14588  prodrblem2  14589  fprodntriv  14600  iprodclim3  14659  iprodmul  14662  efcj  14750  eftlub  14767  eflegeo  14779  rpnnen2lem5  14875  mulgfval  17466  ovoliunnul  23188  ioombl1lem4  23242  vitalilem5  23294  dvnfval  23598  aaliou3lem3  24010  dvradcnv  24086  pserulm  24087  abelthlem6  24101  abelthlem7  24103  abelthlem9  24105  logtayllem  24312  logtayl  24313  atantayl  24571  leibpilem2  24575  leibpi  24576  log2tlbnd  24579  zetacvg  24648  lgamgulm2  24669  lgamcvglem  24673  lgamcvg2  24688  dchrisumlem3  25087  dchrisum0re  25109  esumcvgsum  29943  sseqval  30243  iprodgam  31357  faclim  31361  knoppcnlem6  32151  knoppcnlem9  32154  knoppndvlem4  32169  knoppndvlem6  32171  knoppf  32189  geomcau  33208  dvradcnv2  38049  binomcxplemnotnn0  38058  sumnnodd  39284  stirlinglem5  39618  stirlinglem7  39620  fourierdlem112  39758  sge0isum  39967
 Copyright terms: Public domain W3C validator