MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnbl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnbl0 22624
Description: Two ways to write the open ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cnbl0 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem cnbl0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abscl 14062 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
2 absge0 14071 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
31, 2jca 553 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
43adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
54biantrurd 528 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) < 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
6 df-3an 1056 . . . . . 6 (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅))
75, 6syl6rbbr 279 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) < 𝑅))
8 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
10 elico2 12275 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
118, 9, 10sylancr 696 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
12 0cn 10070 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
13 cnblcld.1 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (abs ∘ − )
1413cnmetdval 22621 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
15 abssub 14110 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
1614, 15eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
1712, 16mpan 706 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
18 subid1 10339 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
1918fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
2017, 19eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2221breq1d 4695 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) < 𝑅))
237, 11, 223bitr4d 300 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) < 𝑅))
2423pm5.32da 674 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
25 absf 14121 . . . . 5 abs:ℂ⟶ℝ
26 ffn 6083 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 abs Fn ℂ
28 elpreima 6377 . . . 4 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅))))
2927, 28mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅))))
30 cnxmet 22623 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3113, 30eqeltri 2726 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
32 elbl 22240 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
3331, 12, 32mp3an12 1454 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
3424, 29, 333bitr4d 300 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ 𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅)))
3534eqrdv 2649 1 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘𝐷)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  ccnv 5142  cima 5146  ccom 5147   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  [,)cico 12215  abscabs 14018  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789
This theorem is referenced by:  psercnlem2  24223  efopnlem1  24447  binomcxplemdvbinom  38869  binomcxplemnotnn0  38872
  Copyright terms: Public domain W3C validator