MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnring 19535
Description: The complex numbers form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnring fld ∈ Ring

Proof of Theorem cnring
StepHypRef Expression
1 cncrng 19534 . 2 fld ∈ CRing
2 crngring 18329 . 2 (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
31, 2ax-mp 5 1 fld ∈ Ring
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  Ringcrg 18318  CRingccrg 18319  fldccnfld 19515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-0g 15873  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-cmn 17966  df-mgp 18261  df-ring 18320  df-cring 18321  df-cnfld 19516
This theorem is referenced by:  cnfld0  19537  cnfld1  19538  cnfldneg  19539  cnfldsub  19541  cndrng  19542  cnflddiv  19543  cnfldinv  19544  cnfldmulg  19545  cnfldexp  19546  cnsrng  19547  cnsubmlem  19561  cnsubglem  19562  cnsubrglem  19563  cnsubdrglem  19564  absabv  19570  cnmgpid  19575  gsumfsum  19580  expmhm  19582  nn0srg  19583  rge0srg  19584  expghm  19610  zrhpsgnmhm  19696  regsumsupp  19734  cnngp  22340  cnfldtgp  22427  cnlmod  22695  cnrlmod  22698  cnncvsaddassdemo  22715  cphsubrglem  22729  tdeglem1  23566  tdeglem3  23567  tdeglem4  23568  tdeglem2  23569  plypf1  23716  dvply2  23789  dvnply  23791  taylfvallem  23860  taylf  23863  tayl0  23864  taylpfval  23867  taylply  23871  efabl  24044  efsubm  24045  jensenlem1  24457  jensenlem2  24458  jensen  24459  amgmlem  24460  amgm  24461  wilthlem2  24539  wilthlem3  24540  dchrelbas3  24707  dchrghm  24725  dchrabs  24729  lgseisenlem4  24847  psgnid  28971  xrge0iifmhm  29106  zringnm  29125  rezh  29136  rngunsnply  36545  proot1ex  36581  amgm2d  37306  amgm3d  37307  amgm4d  37308  amgmwlem  42299  amgmlemALT  42300  amgmw2d  42301
  Copyright terms: Public domain W3C validator