MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvexg 6982
Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
cnvexg (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg
StepHypRef Expression
1 relcnv 5409 . . 3 Rel 𝐴
2 relssdmrn 5559 . . 3 (Rel 𝐴𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴))
31, 2ax-mp 5 . 2 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴)
4 df-rn 5039 . . . 4 ran 𝐴 = dom 𝐴
5 rnexg 6967 . . . 4 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
64, 5syl5eqelr 2692 . . 3 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
7 dfdm4 5225 . . . 4 dom 𝐴 = ran 𝐴
8 dmexg 6966 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
97, 8syl5eqelr 2692 . . 3 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
10 xpexg 6835 . . 3 ((dom 𝐴 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V)
116, 9, 10syl2anc 690 . 2 (𝐴𝑉 → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V)
12 ssexg 4727 . 2 ((𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
133, 11, 12sylancr 693 1 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539   × cxp 5026  ccnv 5027  dom cdm 5028  ran crn 5029  Rel wrel 5033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-dm 5038  df-rn 5039
This theorem is referenced by:  cnvex  6983  relcnvexb  6984  cofunex2g  7001  tposexg  7230  cnven  7895  fopwdom  7930  domssex2  7982  domssex  7983  cnvfi  8108  mapfienlem2  8171  wemapwe  8454  hasheqf1oi  12954  hasheqf1oiOLD  12955  brtrclfvcnv  13539  brcnvtrclfvcnv  13540  relexpcnv  13569  relexpnnrn  13579  relexpaddg  13587  imasle  15952  cnvps  16981  gsumvalx  17039  symginv  17591  tposmap  20024  metustel  22106  metustss  22107  metustfbas  22113  metuel2  22121  psmetutop  22123  restmetu  22126  itg2gt0  23250  nlfnval  27930  cnvct  28684  ffsrn  28698  eulerpartlemgs2  29575  orvcval  29652  coinfliprv  29677  lkrval  33196  pw2f1o2val  36427  lmhmlnmsplit  36478  cnvcnvintabd  36728  clrellem  36751  relexpaddss  36832  cnvtrclfv  36838  rntrclfvRP  36845  xpexb  37482  sge0f1o  39079  smfco  39491
  Copyright terms: Public domain W3C validator