MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2gt0 23277
Description: If the function 𝐹 is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2gt0.2 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
itg2gt0.3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2gt0.4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2gt0.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2gt0 (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
3 iccssxr 12085 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 volf 23048 . . . . . . . . 9 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
54ffvelrni 6250 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
63, 5sseldi 3565 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
72, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
87adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
9 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10 reex 9883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
11 fex 6371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
129, 10, 11sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ V)
13 cnvexg 6982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
15 imaexg 6972 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
18 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))
1917, 18fmptd 6276 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶V)
20 ffn 5943 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶V → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ)
22 fniunfv 6386 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
24 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
25 rge0ssre 12109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26 fss 5954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
279, 25, 26sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
28 mbfima 23149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
2924, 27, 28syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
3029adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
3130, 18fmptd 6276 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶dom vol)
3231ffvelrnda 6251 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
3332ralrimiva 2948 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
34 iunmbl 23072 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
3623, 35eqeltrrd 2688 . . . . . . . 8 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol)
37 mblss 23050 . . . . . . . 8 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ)
39 ovolcl 22997 . . . . . . 7 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
4140adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
42 0xr 9942 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
4342a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → 0 ∈ ℝ*)
44 mblvol 23049 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
452, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
46 mblss 23050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4847sselda 3567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
499ffvelrnda 6251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
50 elrege0 12107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5149, 50sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5251simpld 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5348, 52syldan 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
54 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < (𝐹𝑥))
55 nnrecl 11139 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
5653, 54, 55syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
57 ffn 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
589, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
5958ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
60 elpreima 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
6248adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6362biantrurd 527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
64 nnrecre 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
6564adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
6665rexrd 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
6766adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
68 elioopnf 12096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
7061, 63, 693bitr2d 294 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
72 imaexg 6972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
7314, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
7473adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
75 oveq2 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
7675oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛)(,)+∞) = ((1 / 𝑘)(,)+∞))
7776imaeq2d 5371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
7877, 18fvmptg 6173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
7971, 74, 78syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
8079eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
8153adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
8281biantrurd 527 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
8370, 80, 823bitr4rd 299 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8483rexbidva 3030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8556, 84mpbid 220 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘))
8685ex 448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
87 eluni2 4370 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧)
88 eleq2 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8988rexrn 6253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
9021, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
9187, 90syl5bb 270 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
9286, 91sylibrd 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9392ssrdv 3573 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
94 ovolss 23004 . . . . . . . 8 ((𝐴 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∧ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9593, 38, 94syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9645, 95eqbrtrd 4599 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9796adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
98 mblvol 23049 . . . . . . . . 9 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9936, 98syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
100 peano2nn 10881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
101100adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
102 nnrecre 10906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
104103rexrd 9945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
105 nnre 10876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
106105adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
107106lep1d 10806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
108 nngt0 10898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
109108adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
110101nnred 10884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
111101nngt0d 10913 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑘 + 1))
112 lerec 10757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
113106, 109, 110, 111, 112syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
114107, 113mpbid 220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
115 iooss1 12039 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)) → ((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
116104, 114, 115syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
117 imass2 5406 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
11971, 73, 78syl2anr 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
120 imaexg 6972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V)
12114, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V)
122 oveq2 6534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
123122oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((1 / 𝑛)(,)+∞) = ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
124123imaeq2d 5371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
125124, 18fvmptg 6173 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
126100, 121, 125syl2anr 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
127118, 119, 1263sstr4d 3610 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)))
128127ralrimiva 2948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)))
129 volsup 23075 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1))) → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
13031, 128, 129syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
13199, 130eqtr3d 2645 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
132131adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
13373adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
13471, 133, 78syl2anr 493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
135134fveq2d 6091 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) = (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
13642a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 ∈ ℝ*)
137 nnrecgt0 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑘))
138137adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑘))
139 0re 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ ℝ
140 ltle 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝑘) → 0 ≤ (1 / 𝑘)))
141139, 65, 140sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑘) → 0 ≤ (1 / 𝑘)))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑘))
143 elxrge0 12110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑘)))
14466, 142, 143sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞))
145 0e0iccpnf 12112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (0[,]+∞)
146 ifcl 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
147144, 145, 146sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
148147adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
149 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))
150148, 149fmptd 6276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
151150adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
152 itg2cl 23249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*)
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*)
154 icossicc 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
155 fss 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
1569, 154, 155sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
157 itg2cl 23249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
159158adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
160 0nrp 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 0 ∈ ℝ+
161 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
162119, 32eqeltrrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
163162adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
164163adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
165161, 139syl6eqelr 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ)
16665, 138elrpd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
167166adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
168167adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
169 itg2const2 23258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ))
170164, 168, 169syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ))
171165, 170mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ)
172 elrege0 12107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑘)))
17365, 142, 172sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
174173adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
175174adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
176 itg2const 23257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
177164, 171, 175, 176syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
178161, 177eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
179 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
180171, 179elrpd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ+)
181168, 180rpmulcld 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))) ∈ ℝ+)
182178, 181eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 ∈ ℝ+)
183182ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) → 0 ∈ ℝ+))
184160, 183mtoi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → ¬ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
185 itg2ge0 23252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
186151, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
187 xrleloe 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ↔ (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))))
18842, 153, 187sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ↔ (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))))
189186, 188mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))))
190189ord 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (¬ 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) → 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))))
191184, 190mt3d 138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
192156adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
19365adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
19458adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
195194, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
196195biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
197196simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19852adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
199197, 198syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
20066adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
201196simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))
202 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥)) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
20368, 202syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥)))
204200, 201, 203sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
205193, 199, 204ltled 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥))
20651simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
207206adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
208197, 207syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
209 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 / 𝑘) = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) → ((1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
210 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
211209, 210ifboth 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
212205, 208, 211syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
213212adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
214 iffalse 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) = 0)
215214adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) = 0)
216207adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
217215, 216eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
218213, 217pm2.61dan 827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
219218ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
220219adantrr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
22110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ∈ V)
222 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 / 𝑘) ∈ V
223 c0ex 9890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ V
224222, 223ifex 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ V
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ V)
226 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹𝑥) ∈ V
227226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ V)
228 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))
2299feqmptd 6143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
230221, 225, 227, 228, 229ofrfval2 6790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
231230biimpar 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘𝑟𝐹)
232220, 231syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘𝑟𝐹)
233 itg2le 23256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ≤ (∫2𝐹))
234151, 192, 232, 233syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ≤ (∫2𝐹))
235136, 153, 159, 191, 234xrltletrd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 < (∫2𝐹))
236235expr 640 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 < (∫2𝐹)))
237236con3d 146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (¬ 0 < (∫2𝐹) → ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
2384ffvelrni 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ (0[,]+∞))
2393, 238sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ*)
240162, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ*)
241 xrlenlt 9954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
242240, 42, 241sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
243237, 242sylibrd 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (¬ 0 < (∫2𝐹) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0))
244243imp 443 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0)
245244an32s 841 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0)
246135, 245eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0)
247246ralrimiva 2948 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0)
248 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → (vol‘𝑧) = (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
249248breq1d 4587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → ((vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
250249ralrn 6254 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
25119, 20, 2503syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
252251adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
253247, 252mpbird 245 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0)
254 ffn 5943 . . . . . . . . . 10 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
2554, 254ax-mp 5 . . . . . . . . 9 vol Fn dom vol
256 frn 5951 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶dom vol → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol)
25731, 256syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol)
258257adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol)
259 breq1 4580 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (vol‘𝑧) → (𝑥 ≤ 0 ↔ (vol‘𝑧) ≤ 0))
260259ralima 6379 . . . . . . . . 9 ((vol Fn dom vol ∧ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol) → (∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0))
261255, 258, 260sylancr 693 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0))
262253, 261mpbird 245 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0)
263 imassrn 5382 . . . . . . . . 9 (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ran vol
264 frn 5951 . . . . . . . . . . 11 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → ran vol ⊆ (0[,]+∞))
2654, 264ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran vol ⊆ (0[,]+∞)
266265, 3sstri 3576 . . . . . . . . 9 ran vol ⊆ ℝ*
267263, 266sstri 3576 . . . . . . . 8 (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ℝ*
268 supxrleub 11986 . . . . . . . 8 (((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0))
269267, 42, 268mp2an 703 . . . . . . 7 (sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0)
270262, 269sylibr 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0)
271132, 270eqbrtrd 4599 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ≤ 0)
2728, 41, 43, 97, 271xrletrd 11830 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ≤ 0)
273272ex 448 . . 3 (𝜑 → (¬ 0 < (∫2𝐹) → (vol‘𝐴) ≤ 0))
274 xrlenlt 9954 . . . 4 (((vol‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
2757, 42, 274sylancl 692 . . 3 (𝜑 → ((vol‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
276273, 275sylibd 227 . 2 (𝜑 → (¬ 0 < (∫2𝐹) → ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
2771, 276mt4d 150 1 (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539  ifcif 4035   cuni 4366   ciun 4449   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccnv 5026  dom cdm 5027  ran crn 5028  cima 5030   Fn wfn 5784  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑟 cofr 6771  supcsup 8206  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10535  cn 10869  +crp 11666  (,)cioo 12004  [,)cico 12006  [,]cicc 12007  vol*covol 22982  volcvol 22983  MblFncmbf 23133  2citg2 23135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-rest 15854  df-topgen 15875  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-cmp 20947  df-cncf 22436  df-ovol 22984  df-vol 22985  df-mbf 23138  df-itg1 23139  df-itg2 23140  df-0p 23187
This theorem is referenced by:  itggt0  23358
  Copyright terms: Public domain W3C validator