Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2gt0 23572
 Description: If the function 𝐹 is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2gt0.2 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
itg2gt0.3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2gt0.4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2gt0.5 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2gt0 (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2 (𝜑 → 0 < (vol‘𝐴))
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
3 iccssxr 12294 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 volf 23343 . . . . . . . . 9 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
54ffvelrni 6398 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
63, 5sseldi 3634 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
72, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
9 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10 reex 10065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
11 fex 6530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
129, 10, 11sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ V)
13 cnvexg 7154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
15 imaexg 7145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ V)
18 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))
1917, 18fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶V)
20 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶V → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ)
22 fniunfv 6545 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
24 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
25 rge0ssre 12318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26 fss 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
279, 25, 26sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
28 mbfima 23444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
2924, 27, 28syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) ∈ dom vol)
3130, 18fmptd 6425 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶dom vol)
3231ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
3332ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
34 iunmbl 23367 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ∈ dom vol)
3623, 35eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol)
37 mblss 23345 . . . . . . . 8 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ)
39 ovolcl 23292 . . . . . . 7 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
4140adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ∈ ℝ*)
42 0xr 10124 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
4342a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → 0 ∈ ℝ*)
44 mblvol 23344 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
452, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
46 mblss 23345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4847sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
499ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
50 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5149, 50sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5251simpld 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5348, 52syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
54 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 < (𝐹𝑥))
55 nnrecl 11328 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
5653, 54, 55syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
57 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
589, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
5958ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
60 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
6248adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6362biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
64 nnrecre 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
6665rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
6766adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
68 elioopnf 12305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
7061, 63, 693bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
72 imaexg 7145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
7314, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
75 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
7675oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝑛)(,)+∞) = ((1 / 𝑘)(,)+∞))
7776imaeq2d 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
7877, 18fvmptg 6319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
7971, 74, 78syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
8079eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
8153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
8281biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))))
8370, 80, 823bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8483rexbidva 3078 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8556, 84mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘))
8685ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
87 eluni2 4472 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧)
88 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
8988rexrn 6401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
9021, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))𝑥𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
9187, 90syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
9286, 91sylibrd 249 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9392ssrdv 3642 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))
94 ovolss 23299 . . . . . . . 8 ((𝐴 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∧ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9593, 38, 94syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9645, 95eqbrtrd 4707 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9796adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ≤ (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
98 mblvol 23344 . . . . . . . . 9 ( ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ∈ dom vol → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
9936, 98syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))))
100 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
101100adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
102 nnrecre 11095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
104103rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ*)
105 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
106105adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
107106lep1d 10993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
108 nngt0 11087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
110101nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
111101nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝑘 + 1))
112 lerec 10944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
113106, 109, 110, 111, 112syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
114107, 113mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
115 iooss1 12248 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)) → ((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
116104, 114, 115syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
117 imass2 5536 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘)(,)+∞) ⊆ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
11971, 73, 78syl2anr 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
120 imaexg 7145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V)
12114, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V)
122 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
123122oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((1 / 𝑛)(,)+∞) = ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞))
124123imaeq2d 5501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
125124, 18fvmptg 6319 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
126100, 121, 125syl2anr 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)) = (𝐹 “ ((1 / (𝑘 + 1))(,)+∞)))
127118, 119, 1263sstr4d 3681 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)))
128127ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1)))
129 volsup 23370 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) ⊆ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘(𝑘 + 1))) → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
13031, 128, 129syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
13199, 130eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
132131adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) = sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ))
13373adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ V)
13471, 133, 78syl2anr 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) = (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
135134fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) = (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
13642a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 ∈ ℝ*)
137 nnrecgt0 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑘))
138137adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑘))
139 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ ℝ
140 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝑘) → 0 ≤ (1 / 𝑘)))
141139, 65, 140sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑘) → 0 ≤ (1 / 𝑘)))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑘))
143 elxrge0 12319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝑘)))
14466, 142, 143sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞))
145 0e0iccpnf 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (0[,]+∞)
146 ifcl 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / 𝑘) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
147144, 145, 146sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
148147adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ (0[,]+∞))
149 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))
150148, 149fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
151150adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
152 itg2cl 23544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*)
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*)
154 icossicc 12298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
155 fss 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
1569, 154, 155sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
157 itg2cl 23544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
159158adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
160 0nrp 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 0 ∈ ℝ+
161 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
162119, 32eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
163162adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
164163adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol)
165161, 139syl6eqelr 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ)
16665, 138elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
167166adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
168167adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
169 itg2const2 23553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ))
170164, 168, 169syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ))
171165, 170mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ)
172 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑘)))
17365, 142, 172sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
174173adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
175174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞))
176 itg2const 23552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
177164, 171, 175, 176syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
178161, 177eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 = ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
179 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
180171, 179elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ+)
181168, 180rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → ((1 / 𝑘) · (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))) ∈ ℝ+)
182178, 181eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) ∧ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))) → 0 ∈ ℝ+)
183182ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) → 0 ∈ ℝ+))
184160, 183mtoi 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → ¬ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
185 itg2ge0 23547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
186151, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
187 xrleloe 12015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ↔ (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))))
18842, 153, 187sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ↔ (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))))
189186, 188mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ∨ 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))))
190189ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (¬ 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) → 0 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))))
191184, 190mt3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))))
192156adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
19365adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
19458adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
195194, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))
196195biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))
197196simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19852adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
199197, 198syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
20066adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
201196simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞))
202 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥)) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
20368, 202syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 𝑘) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ ((1 / 𝑘)(,)+∞) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥)))
204200, 201, 203sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) < (𝐹𝑥))
205193, 199, 204ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → (1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥))
20651simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
207206adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
208197, 207syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
209 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 / 𝑘) = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) → ((1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
210 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
211209, 210ifboth 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 / 𝑘) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
212205, 208, 211syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
213212adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
214 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) = 0)
215214adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) = 0)
216207adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
217215, 216eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
218213, 217pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
219218ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
220219adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥))
22110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℝ ∈ V)
222 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 / 𝑘) ∈ V
223 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ V
224222, 223ifex 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ V
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ∈ V)
226 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ V)
227 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)))
2289feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
229221, 225, 226, 227, 228ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
230229biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0) ≤ (𝐹𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘𝑟𝐹)
231220, 230syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘𝑟𝐹)
232 itg2le 23551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ≤ (∫2𝐹))
233151, 192, 231, 232syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)), (1 / 𝑘), 0))) ≤ (∫2𝐹))
234136, 153, 159, 191, 233xrltletrd 12030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))))) → 0 < (∫2𝐹))
235234expr 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) → 0 < (∫2𝐹)))
236235con3d 148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (¬ 0 < (∫2𝐹) → ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
2374ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ (0[,]+∞))
2383, 237sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ*)
239162, 238syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ*)
240 xrlenlt 10141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
241239, 42, 240sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞)))))
242236, 241sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (¬ 0 < (∫2𝐹) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0))
243242imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0)
244243an32s 863 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐹 “ ((1 / 𝑘)(,)+∞))) ≤ 0)
245135, 244eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0)
246245ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0)
247 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → (vol‘𝑧) = (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)))
248247breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘) → ((vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
249248ralrn 6402 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
25019, 20, 2493syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
251250adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (vol‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))‘𝑘)) ≤ 0))
252246, 251mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0)
253 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → vol Fn dom vol)
2544, 253ax-mp 5 . . . . . . . . 9 vol Fn dom vol
255 frn 6091 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))):ℕ⟶dom vol → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol)
25631, 255syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol)
257256adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol)
258 breq1 4688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (vol‘𝑧) → (𝑥 ≤ 0 ↔ (vol‘𝑧) ≤ 0))
259258ralima 6538 . . . . . . . . 9 ((vol Fn dom vol ∧ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))) ⊆ dom vol) → (∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0))
260254, 257, 259sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))(vol‘𝑧) ≤ 0))
261252, 260mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0)
262 imassrn 5512 . . . . . . . . 9 (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ran vol
263 frn 6091 . . . . . . . . . . 11 (vol:dom vol⟶(0[,]+∞) → ran vol ⊆ (0[,]+∞))
2644, 263ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran vol ⊆ (0[,]+∞)
265264, 3sstri 3645 . . . . . . . . 9 ran vol ⊆ ℝ*
266262, 265sstri 3645 . . . . . . . 8 (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ℝ*
267 supxrleub 12194 . . . . . . . 8 (((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0))
268266, 42, 267mp2an 708 . . . . . . 7 (sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ (vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞))))𝑥 ≤ 0)
269261, 268sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → sup((vol “ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))), ℝ*, < ) ≤ 0)
270132, 269eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol*‘ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹 “ ((1 / 𝑛)(,)+∞)))) ≤ 0)
2718, 41, 43, 97, 270xrletrd 12031 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 0 < (∫2𝐹)) → (vol‘𝐴) ≤ 0)
272271ex 449 . . 3 (𝜑 → (¬ 0 < (∫2𝐹) → (vol‘𝐴) ≤ 0))
273 xrlenlt 10141 . . . 4 (((vol‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
2747, 42, 273sylancl 695 . . 3 (𝜑 → ((vol‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
275272, 274sylibd 229 . 2 (𝜑 → (¬ 0 < (∫2𝐹) → ¬ 0 < (vol‘𝐴)))
2761, 275mt4d 152 1 (𝜑 → 0 < (∫2𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ifcif 4119  ∪ cuni 4468  ∪ ciun 4552   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑟 cofr 6938  supcsup 8387  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  vol*covol 23277  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  ∫2citg2 23430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-0p 23482 This theorem is referenced by:  itggt0  23653
 Copyright terms: Public domain W3C validator