Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coskpi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coskpi2 39380
Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
coskpi2 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem coskpi2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11353 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 divides 14909 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
31, 2mpan 705 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
43biimpa 501 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
5 zcn 11326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
6 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7 picn 24115 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → π ∈ ℂ)
95, 6, 8mulassd 10007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) · π) = (𝑛 · (2 · π)))
109eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · (2 · π)) = ((𝑛 · 2) · π))
1110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝑛 · (2 · π)) = ((𝑛 · 2) · π))
12 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · π) = (𝐾 · π))
1312adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · π) = (𝐾 · π))
1411, 13eqtr2d 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · π) = (𝑛 · (2 · π)))
1514fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = (cos‘(𝑛 · (2 · π))))
16 cos2kpi 24140 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(𝑛 · (2 · π))) = 1)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝑛 · (2 · π))) = 1)
1815, 17eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = 1)
19183adant1 1077 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = 1)
20 iftrue 4064 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
2120eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝐾 → 1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
22213ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → 1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
2319, 22eqtrd 2655 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
24233exp 1261 . . . . 5 (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
2524adantl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
2625rexlimdv 3023 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
274, 26mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
28 odd2np1 14989 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
2928biimpa 501 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
306, 5mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
31 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3230, 31, 8adddird 10009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (((2 · 𝑛) · π) + (1 · π)))
336, 5mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
3433oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) · π) = ((𝑛 · 2) · π))
3534, 9eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) · π) = (𝑛 · (2 · π)))
367mulid2i 9987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · π) = π
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (1 · π) = π)
3835, 37oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · π) + (1 · π)) = ((𝑛 · (2 · π)) + π))
39 2cn 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
4039, 7mulcli 9989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℂ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · π) ∈ ℂ)
425, 41mulcld 10004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
4342, 8addcomd 10182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · (2 · π)) + π) = (π + (𝑛 · (2 · π))))
4432, 38, 433eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (π + (𝑛 · (2 · π))) = (((2 · 𝑛) + 1) · π))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (π + (𝑛 · (2 · π))) = (((2 · 𝑛) + 1) · π))
46 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (𝐾 · π))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (𝐾 · π))
4845, 47eqtr2d 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · π) = (π + (𝑛 · (2 · π))))
4948fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))))
50 cosper 24138 . . . . . . . . . . 11 ((π ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
517, 50mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
5251adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
53 cospi 24128 . . . . . . . . . 10 (cos‘π) = -1
5453a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘π) = -1)
5549, 52, 543eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = -1)
56553adant1 1077 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = -1)
57 iffalse 4067 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
5857eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝐾 → -1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
59583ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → -1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
6056, 59eqtrd 2655 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
61603exp 1261 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
6261adantl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
6362rexlimdv 3023 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
6429, 63mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
6527, 64pm2.61dan 831 1 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  -cneg 10211  2c2 11014  cz 11321  cosccos 14720  πcpi 14722  cdvds 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-dvds 14908  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  39753
  Copyright terms: Public domain W3C validator