Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2 31059
Description: A two-dimensional version of cvmlift 31042. There is a unique lift of functions on the unit square II ×t II which commutes with the covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2 (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝜑,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝐺   𝐶,𝑓   𝑃,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . 2 (𝜑𝑃𝐵)
5 cvmlift2.i . 2 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
6 coeq2 5250 . . . . 5 ( = 𝑔 → (𝐹) = (𝐹𝑔))
7 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝐺0) = (𝑧𝐺0))
87cbvmptv 4720 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
98a1i 11 . . . . 5 ( = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
106, 9eqeq12d 2636 . . . 4 ( = 𝑔 → ((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ↔ (𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))))
11 fveq1 6157 . . . . 5 ( = 𝑔 → (‘0) = (𝑔‘0))
1211eqeq1d 2623 . . . 4 ( = 𝑔 → ((‘0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘0) = 𝑃))
1310, 12anbi12d 746 . . 3 ( = 𝑔 → (((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
1413cbvriotav 6587 . 2 ( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃)) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
15 coeq2 5250 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑔 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑔))
16 oveq2 6623 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑢𝐺𝑤) = (𝑢𝐺𝑧))
1716cbvmptv 4720 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)))
1915, 18eqeq12d 2636 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ↔ (𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))))
20 fveq1 6157 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑔 → (𝑘‘0) = (𝑔‘0))
2120eqeq1d 2623 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑔 → ((𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
2219, 21anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑔 → (((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢))))
2322cbvriotav 6587 . . . . 5 (𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
24 oveq1 6622 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑥𝐺𝑧))
2524mpteq2dv 4715 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)))
2625eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → ((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ↔ (𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧))))
27 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑥 → (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥))
2827eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥)))
2926, 28anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑥 → (((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
3029riotabidv 6578 . . . . 5 (𝑢 = 𝑥 → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
3123, 30syl5eq 2667 . . . 4 (𝑢 = 𝑥 → (𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
3231fveq1d 6160 . . 3 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣))
33 fveq2 6158 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
3432, 33cbvmpt2v 6700 . 2 (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣)) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = (( ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
351, 2, 3, 4, 5, 14, 34cvmlift2lem13 31058 1 (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  ∃!wreu 2910   cuni 4409  cmpt 4683  ccom 5088  cfv 5857  crio 6575  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  0cc0 9896  1c1 9897  [,]cicc 12136   Cn ccn 20968   ×t ctx 21303  IIcii 22618   CovMap ccvm 30998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-ec 7704  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-cmp 21130  df-conn 21155  df-lly 21209  df-nlly 21210  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-ii 22620  df-htpy 22709  df-phtpy 22710  df-phtpc 22731  df-pconn 30964  df-sconn 30965  df-cvm 30999
This theorem is referenced by:  cvmliftpht  31061
  Copyright terms: Public domain W3C validator